Équations du troisième degré

[invite1f029c1e]

Salut . Est-ce que quelqu'un saurait m'expliquer la résolution d'une équation du 3ème degré de forme ax^3+bx²+cx+d=0 ?

Par simple curiosité..J'ai cherché sur certains sites, mais je n'ai pas bien compris. Ils transforment en x^3+px+q=0...?^pourquoi ?

Merci ^^
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[invite00411460]

salut

déjà tu peux diviser à gauche et à droite par a :

x³+b/a*x²+c/a*x+d/a = 0

d'autre part tu en cherches les racines, et si A, B et C sont ces racines, une forme :

(x-A)*(x-B)*(x-C) = 0

si tu développes cette équation et tu obtiens :

x³-(A+B+C)*x²+(AB+AC+BC)*x-ABC = 0

et tu dois donc résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues :

b/a = -(A+B+C)
c/a = AB+AC+BC
d/a = -ABC

et tu peux exprimer A, B et C en fonction de a, b, c et d

voili voilo

[invite1f029c1e]

Oui mais les racines ne s'écriraient-elles pas sous la forme de "a(x-A)*(x-B)*(x-C) = 0" ? plutôt ?

[invite1f029c1e]

Ah non ! Puisque tu divises par a au départ..sorry

[A voir en vidéo sur Futura]

[azt]

Par simple curiosité..J'ai cherché sur certains sites, mais je n'ai pas bien compris. Ils transforment en x^3+px+q=0...?^pourquoi ?

La méthode passe par x^3+px+q=0 car cette formulation permet d'obtenir une solution de manière assez directe. Historiquement c'est comme cela que l'on a réussi à résoudre les équations de 3ème degré : on a d'abord résolu la forme simplifiée pour trouver la solution générale de l'équation.

Donc en pratique on transforme par translation la forme ax^3+bx^2+cx+d=0 en x^3+px+q=0 puis on résoud cette dernière équation.

[invitea29d1598]

et si tu veux des détails sur la résolution de cette dernière équation, va voir là:

http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html