Equations du troisieme degré.

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Alors comme j'ai un peu de temps pdt les vacances, j'aimerai essayer de comprendre les méthodes de résolution d'équation du troisieme degré.
J'avais deja essayé pdt les vacance de noel, mais je n'avais pas trouvé grand chose.

Alors deja pour commencer, je voudrais m"interesser au nombre de solutions.
J'ai réussi a montrer que l'éqation (a différent de 0) admettait en fonction de valeurs de a, b et c une, deux ou trois solution(s) dans R, en prenant f(x)=, et en montrant que lim(x->-inf)f(x)=-inf et lim(x->+inf)f(x)=+inf pour a>0 et l'inverse pour a<0.
Ensuite je dérive et en fonction du signe de la dérivée, j'en déduis les variations de la fonction ce qui m'indique combien de fois elle coupe l'axe des abcisses selon les valeurs de a,b,c et d.
Donc ca c'est bon pas de pb.
J'ai ensuite essayé de trouver un discriminant qui m'indique le nombre de solutions qu'admet l'équation.
Alors au final (je vous épargne les calculs ), je trouve:
,
mais c'est un bizzare, car quand il est négatif, l'équation admet 3 solutions, quand il est nul, elle en admet 2 et quand il est positif, elle est admet une (c'est un peu le contraire de celui du second degré).
Donc je n'ai pas eut le temps de le tester, j'essayerai ce soir avec pls exemples et ma calculette graphique et vous dirai si ca a l'air de marcher ou pas.
Je voulais savoir s'il existait des méthodes pour calculer le discriminant du 3eme degré, que vous pourriez m'indiquer (juste le discriminant pour le moment).

J'ai deja cherché sur internet et j'ai a peu pres compris (en théorie) la méthode ou on pose x=u+v et on on finit par obtenir un système, mais je prefere reprendre les choses petit a petit et avec votre aide pour que vous me corrigiez au fur et a mesure.

Merci d'avance.
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[invitecccc5a3b]

appliques horner et ensuite delta ! tu trouveras tes 3 racines... (ps possibilité de mettre en évidence un facteur ...)

[invitea250c65c]

Bonsoir et merci,

J'ai fait qq recherches mais je ne vois pas en quoi la méthode d'Horner peut m'aider a résoudre ca, mais j'ai peut etre al compris.
Sinon j'arrive a me ramener a une équation du type x^3+px+q=0, mais pour résoudre ca, toujours le même probleme.
J'ai lu que dans ce cas, on avait , et que ce nb donnait, en fonction de son signe, le nb de solutions (réelles) à l'équation.
Mais en fait je ne comprend pas tres bien cmt on arrive a ce delta.
Sinon j'ai a peu pres compris la méthode qui consiste a poser x=u+v ... mais j'aurais juste une question a vous poser a ce sujet.

Merci d'avance.

[Calvert]

Essaye de trouver des renseignements sur la méthode de Cardan (formules de Cardan). Mes souvenirs me disent qu'elles permettent de résoudre toutes les équations du troisième degré, et qu'il faut pas mal de manipulation pour y arriver. Mais je ne me souviens pas des détails.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Ces méthodes (cardan etc...) sont longues et périlleuses, inutile de les apprendre alors que la machine fait ça très bien...