Bonsoir!!
Encore un petit souci en maths malheuresment!!
Je dois résoudre xcube + 6x = 20
On peut factoriser par x pour la résoudre mais je dois utiliser la méthode de Cardan,je sais pas si vous connaissez...
Et on nous a fait calculer en premier ((racine de 3)+1)au cube et ((racinde de3)-1)au cube.
Je pense que ca doit servir mais je vois pas comment.
Si vous pouvez m'aider sa serait trop sympa!
Je vous remercie!!
Bonjour,
La méthode de cardan consiste à poser x = u + v et a remplacer dans l'équation x par cette valeur. On trouve donc une nouvelle équation en u et v.
Pour l'équation x^3 + 6x = 20, cela donne :
(u + v)^3 + 6(u + v) = 20
On développe (u + v)^3 en u^3 + 3u²v + 3uv² + v^3
L'équation devient :
u^3 + v^3 + 3u²v + 3uv² + 6(u + v) = 20
Elle se transforme en :
u^3 + v^3 + (3uv + 6)(u + v) = 20
Pour trouver une solution, on peut chercher u et v de telle sorte que :
u^3 + v^3 = 20 et 3uv + 6 = 0
Comme on t'a fait calculer (Rac(3) + 1)^3 et (Rac(3) - 1)^3 ca peut te donner une idée d'une solution u et v qui convient...
Bonjour!
Bon en fait, au début on à étudier la méthode de Cardan.
On nous dit que la méthode consiste a introduire deux inconnues u et v telles que u - v = q et u*v=(p/3)^3.
On a montrer que la recherche de u et v sse ramène à la résolution d'une équation du second degré:
qv + v² - (p/3)^3 = 0.
Ensuite,on a montrer que cette nouvelle équation admet des solutions dans R si et seulement si 27q²+4p^3 superieur ou egale a 0.
Puis,on a montrer que racine cubique de u - racine cubique de v est solution de l'equation x^3 + px = q.
Et apres,bah on nous demande de faire l'application numérique,est ce que la méthode que tu m'as dit ca correspond a celle la??parce qu'il y a surment plusieurs facon de résoudre et si je fais comme tu dit et que ca correspond pas à ce qu'on a fait avant,le prof va se demander d'ou je suis allée chercher ca
Merci!!
La méthode que tu a vu en cours est une variante de celle que je t'ai présenté.
Dans ton exemple on doit résoudre l'équation x^3 + px = q avec p = 6 et q = 20
Si j'applique to cours, pour trouver le u et v, on doit résoudre l'équation du second degré : v² - 20v - 8 = 0
Discriminant = 108 > 0
On trouve les deux solutions :
u = 6 * Rac(3) + 10 et v = 6 * Rac(3) - 10
Hors ce u et ce v correspondent respectivement au deux cubes des nombres Rac(3) + 1 et Rac(3) - 1.
Je te laisse finir...
Merci beaucoup armor92!!
Salut,
on pouvait aussi remarquer que 2 est solution évidente...
Cordialement.
Non on ne peut pas puisque l'énoncé (apparamment du moins) impose la méthode.Envoyé par martini_bird
ceci dit c'est plutôt maladroit de laisser une solution relativement évidente comme celle-là laissant l'occasion de la résoudre par une méthode beaucoup moins lourde.
Utiliser Cardan pour cet exercice, c'est utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche...
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Il y a des cas où ce n'est pas utiliser du marteau pilon?
En cas de calculs algébriques exacts il est presque toujours plus facile d'utiliser la définition implicite P(x)=0 pour manipuler les racines.
En cas de besoin de valeurs approchées, n'importe quelle calculette graphique de moins de 10 ans calculera celle-ci plus rapidement que le temps de trouver u et v
