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Equation du troisième degre



  1. #1
    Temtem71

    Equation du troisième degre


    ------

    Bonsoir!!
    Encore un petit souci en maths malheuresment!!

    Je dois résoudre xcube + 6x = 20
    On peut factoriser par x pour la résoudre mais je dois utiliser la méthode de Cardan,je sais pas si vous connaissez...
    Et on nous a fait calculer en premier ((racine de 3)+1)au cube et ((racinde de3)-1)au cube.
    Je pense que ca doit servir mais je vois pas comment.
    Si vous pouvez m'aider sa serait trop sympa!
    Je vous remercie!!

    -----

  2. #2
    armor92

    Re : Equation du troisième degre

    Bonjour,

    La méthode de cardan consiste à poser x = u + v et a remplacer dans l'équation x par cette valeur. On trouve donc une nouvelle équation en u et v.

    Pour l'équation x^3 + 6x = 20, cela donne :
    (u + v)^3 + 6(u + v) = 20

    On développe (u + v)^3 en u^3 + 3u²v + 3uv² + v^3

    L'équation devient :
    u^3 + v^3 + 3u²v + 3uv² + 6(u + v) = 20
    Elle se transforme en :
    u^3 + v^3 + (3uv + 6)(u + v) = 20

    Pour trouver une solution, on peut chercher u et v de telle sorte que :
    u^3 + v^3 = 20 et 3uv + 6 = 0

    Comme on t'a fait calculer (Rac(3) + 1)^3 et (Rac(3) - 1)^3 ca peut te donner une idée d'une solution u et v qui convient...

  3. #3
    Temtem71

    Re : Equation du troisième degre

    Bonjour!
    Bon en fait, au début on à étudier la méthode de Cardan.
    On nous dit que la méthode consiste a introduire deux inconnues u et v telles que u - v = q et u*v=(p/3)^3.

    On a montrer que la recherche de u et v sse ramène à la résolution d'une équation du second degré:
    qv + v² - (p/3)^3 = 0.
    Ensuite,on a montrer que cette nouvelle équation admet des solutions dans R si et seulement si 27q²+4p^3 superieur ou egale a 0.
    Puis,on a montrer que racine cubique de u - racine cubique de v est solution de l'equation x^3 + px = q.

    Et apres,bah on nous demande de faire l'application numérique,est ce que la méthode que tu m'as dit ca correspond a celle la??parce qu'il y a surment plusieurs facon de résoudre et si je fais comme tu dit et que ca correspond pas à ce qu'on a fait avant,le prof va se demander d'ou je suis allée chercher ca

    Merci!!

  4. #4
    armor92

    Re : Equation du troisième degre

    La méthode que tu a vu en cours est une variante de celle que je t'ai présenté.

    Dans ton exemple on doit résoudre l'équation x^3 + px = q avec p = 6 et q = 20

    Si j'applique to cours, pour trouver le u et v, on doit résoudre l'équation du second degré : v² - 20v - 8 = 0
    Discriminant = 108 > 0

    On trouve les deux solutions :
    u = 6 * Rac(3) + 10 et v = 6 * Rac(3) - 10

    Hors ce u et ce v correspondent respectivement au deux cubes des nombres Rac(3) + 1 et Rac(3) - 1.

    Je te laisse finir...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Temtem71

    Re : Equation du troisième degre

    Merci beaucoup armor92!!

  7. #6
    martini_bird

    Re : Equation du troisième degre

    Salut,

    on pouvait aussi remarquer que 2 est solution évidente...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #7
    homotopie

    Re : Equation du troisième degre

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    on pouvait aussi remarquer que 2 est solution évidente...

    Cordialement.
    Non on ne peut pas puisque l'énoncé (apparamment du moins) impose la méthode.
    ceci dit c'est plutôt maladroit de laisser une solution relativement évidente comme celle-là laissant l'occasion de la résoudre par une méthode beaucoup moins lourde.

  9. #8
    danyvio

    Re : Equation du troisième degre

    Utiliser Cardan pour cet exercice, c'est utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche...
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  10. #9
    homotopie

    Re : Equation du troisième degre

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Utiliser Cardan pour cet exercice, c'est utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche...
    Il y a des cas où ce n'est pas utiliser du marteau pilon?
    En cas de calculs algébriques exacts il est presque toujours plus facile d'utiliser la définition implicite P(x)=0 pour manipuler les racines.
    En cas de besoin de valeurs approchées, n'importe quelle calculette graphique de moins de 10 ans calculera celle-ci plus rapidement que le temps de trouver u et v

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