Question sur les matrices
Bonjour,
J'ai un exercice sur les matrices que je n'arrive pas à résoudre et j'espérais que vous puissiez m'aider. Voici l'énoncé:
"Supposons que A est inversible et que l'on permute ses deux premières lignes afin d'obtenir B. Est ce que la nouvelle matrice B est inversible ? Comment peut-on trouver B^-1 à partie de A^-1 ? "
Merci.
Bonjour.
Réponse : B est inversible parce qu'on demande de calculer B^(-1).
Plus sérieusement, tout dépend de tes connaissances. Quelques idées :
* que se passe-t-il pour le déterminant si on permute deux lignes
* A est une matrice d'un application de R^n dans R^n, avec des bases données (pour simplifier, la base canonique dans les deux cas, par exemple). Que faut-il faire sur les bases pour échanger les deux premières colonnes ?
C'est ce qui me vient spontanément, mais je ne suis pas un spécialiste d'algèbre linéaire.
Cordialement.
Bonjour,
* le signe du déterminant va changer
* je ne sais si j'ai bien compris votre question mais je dirais qu'il faudrait multiplier la matrice A par une matrice qui permet de permuter les deux premières lignes (matrice identité un peu modifiée)
merci.
Je pense avoir une idée: soit P une matrice qui permet de permuter les deux premières lignes de A on a alors:
B^(-1)= (AP)^(-1) = P^(-1) A^(-1) ?
merci.
C'est l'idée ! Après je pense que l'énoncé demande de trouver P, ou au moins de justifier qu'elle existe et qu'elle est inversible...
D'accord merci beaucoup !
En fait, si tu remplaces A par sa transposée, c'est un changement de colonnes, qui correspond à la permutation des deux premiers vecteurs de la base d'arrivée. Les matrices de changement de base sont connues, et celle-ci est très simple.
Cordialement.
Bonjour,Je pense avoir une idée: soit P une matrice qui permet de permuter les deux premières lignes de A on a alors:
B^(-1)= (AP)^(-1) = P^(-1) A^(-1) ?
Là, je vois un petit ennui : l'échange de deux lignes, comme toute opération élémentaire sur les lignes, se fait par multiplication À GAUCHE (et pas à droite) par une matrice inversible.
C'est en fait, et donc
