Question sur les matrices

[invite25fbbe25]

Bonsoir tout le monde, j'ai 1 soucis venant de mes TD

sujet: soient A,B €Mat(m x n, R) avec m > n. Montrer que l'on a det(A.tB) = 0 (tB: matrices transposée de B)

Je ne sais pas où est-ce que je dois commencer
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[inviteea028771]

J'aurai envie de le faire en passant par les applications linéaires associées au matrice (dans les bases canoniques de Rm et Rn )

Soit f: Rn-> Rm | f(X) = A.X et g: Rm -> Rn | g(X) = tB.X

On a alors :

Ker(fog) != {0} <=> fog n'est pas bijective <=> la matrice de fog dans la base canonique de Bn n'est pas inversible <=> le déterminant de la matrice de fog dans la base canonique de Bn est nul <=> det(A.Bt) =0

Reste à montrer que Ker(fog) != {0} (regarde dim(Ker(g)))

Ce n'est qu'une proposition de démonstration, et il y a peut être une manière purement matricielle de le montrer.

[invite25fbbe25]

Merci Tryss, mais je ne comprends pas bien.

Pourquoi "Ker(fog) = {0} <=> fog n'est pas bijective"
Je sais que avec f: Rn -> Rn Ker(f)=0 <=> inj, surj et bij aussi mais avec Rm -> Rn, je sais pas (je crois que j'ai des trous dans mes connaissance )

[inviteea028771]

fog est de Rm dans Rm.

Au passage une application linéaire de Rm->Rn ne peux pas être bijective si m != n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite25fbbe25]

axaxax, le symbole " != " signifie " différent à " ? je suis noob

[invite25fbbe25]

fog est de Rm dans Rm.

Au passage une application linéaire de Rm->Rn ne peux pas être bijective si m != n

qu'est-ce qui se passe si f: Rm -> Rn mais en faite, il n'y a que les éléments qui appartiennent à la sev E de Rm avec dim(E) = n peuvent être transformés par f.

[inviteea028771]

axaxax, le symbole " != " signifie " différent à " ? je suis noob

Oui, c'est bien ça (c'est utilisé dans certains langages informatiques, et vu que c'est pratique à taper, j'ai tendance à l'utiliser alors que ce n'est pas clair pour tout le monde :/ )

qu'est-ce qui se passe si f: Rm -> Rn mais en faite, il n'y a que les éléments qui appartiennent à la sev E de Rm avec dim(E) = n peuvent être transformés par f.

Dans ce cas ça n'est plus une application

Tout les éléments de l'ensemble de départ ont une et une seule image par l'application f

[invite25fbbe25]

Soit f: Rn-> Rm | f(X) = A.X et g: Rm -> Rn | g(X) = tB.X

alala, c'est a dire fog est surjective seulement, c'est ça ?

wesh Tryss, je te deteste, pourquoi tu es trop fort comme ça >.< xD

Je ai compris pourquoi fog n'est pas bijective, mais pourquoi ker(fog) != 0 ?

et un autre probleme, mon prof a dit que f:Rm -> Rn, matrice de cette application est Mat(mxn, R), par exemple ce matrice a la forme:
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
alors la dimension de la base de Rn = dim(Rn) = n = 6, ce que je pense que c'est impossible est avec vecteur X(x,y,z) appartient a Rn, on n'a besoin que 3 vecteur pour le former

Et est-ce que m = dim(Rm) ? et soit Y € Rm, Y = (x1,x2,x3,....,xm) ?