(Proba discrètes simples ?) Tirage dans une urne sans remise

[Probantique]

Bonjour,

En essayant de résoudre à un problème que je m’étais posé, je suis tombé sur deux réponses qui, bien que donnant des valeurs numériques proches, n’en restent pas moins différentes. Je voulais savoir si cela était dû au fait que ces réponses interprétaient le problème différemment, ou si l’une (ou les deux) est/sont fausses (ou si le problème est mal formulé)
Qu’en pensez-vous ?

Problème :
Une urne est composée de 6 boules indiscernables au toucher : trois noires et trois blanches.
On tire 4 boules au hasard dans cette urne en même temps.
Quelle est la probabilité d’avoir les 3 boules blanches dans le lot de 4 boules que l’on vient de tirer ?

Premier élément commun aux deux réponses :

Je dénombre les tirages réalisant l’événement étudié (N= tirer une boule noire, B=tirer une boule blanche).

-BBBN
-BBNB
-BNBB
-NBBB

Réponse 1 :

L’urne comprend 6 boules. On tire 4 boules parmi les 6. (4 parmi 6) tirages sont possibles (à lire sous forme de coefficient binomial), et 4 tirages (ceux cités ci-dessus) réalisent notre événement. La probabilité recherchée est donc :

4 / (4 parmi 6) = 4/ [6!/(4!*2!)] = 26,67%

Réponse 2 :

La probabilité que l’événement étudie se réalise est égale à la probabilité de l’union des événements (tirages) spécifiés ci-dessus. Ces événement (tirages), étant des intersections d’événements, on peut calculer leurs probabilités respectives en multipliant les probabilités conditionnelles propres à chaque tirage des 4 que j’ai exposés ci-dessus :

-P(BBBN)= (3/6)*(2/5)*(1/4)*1 =5%
-P(BBNB)= (3/6)*(2/5)*(3/4)*(1/3) =5%
-P(BNBB)=(3/6)*(3/5)*(2/4)*(1/3) =5%
-P(NBBB)=(3/6)*(3/5)*(2/4)*(1/3)=5%

La somme de ces probabilités vaut : 20%.
On a donc 20% de chance que l’événement étudié se réalise.

Conclusion :
J’obtiens donc deux réponses différentes. Les calculs ont été réalisés avec Excel au passage (je suis au bureau ahah). Mon hypothèse vient du fait que mes réponses répondent toutes deux à un problème, mais qui n’est pas exactement celui que j’ai énoncé. Je pense que cela vient de l’ambiguïté de mon énoncé à propos de la façon dont se réalise le tirage (tirer les 4 boules en même temps? A la suite? Quelle différence cela aura-t-il sur la solution à apporter?)

Si vous avez des pistes pour m’aider à trouver la bonne solution au problème, et surtout expliquer qu’elle est la différence entre ce que je calcule à la réponse 1 vs la réponse 2, je suis preneur !

Très bonne journée à tous.
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[gg0]

Bonjour.

Dans les deux cas je ne sais pas ce que désigne la notation BBBN. Tu n'as pas défini l'univers des événements. Pour la réponse 1 le dénominateur semble utiliser des combinaisons de 4 boules prises parmi les 6 différentes (B1 B2 B3 N1 N2 N3). L'univers serait alors l'ensemble de ces combinaisons. Il faut alors définir les combinaisons favorables.
Pour la réponse 2, je ne vois pas quel calcul est fait puisque je ne sais pas qui est BBBN. Mais il n'y a aucune raison que ça donne le même résultat.

Cordialement.

NB : un tirage de boules ensemble donne des combinaisons de boules.

[Nini42]

Quand tu dis "(4 parmi 6) tirages sont possibles", tu ne prends pas l'ordre des tirages en compte (BBNN et BNBN appartiendront par exemple à un seul "tirage possible"), alors que tu le prends en compte quand tu dis que 4 tirages donnent le résultat attendu, non ?
Ca ne donne pas la solution cela dit, on obtient moins de 20 % dans ce cas. Je pense comme gg0 qu'il faudrait définir rigoureusement un univers et les évènements dessus pour y voir plus clair

[Probantique]

Merci pour ces réponses. En effet je pense que le soucis vient de là, mais j’ai du mal à comprendre pourquoi la proba devrait être différente selon l’ordre des tirages. (D’ailleurs je précise effectivement que la seconde solution raisonne comme cela, avec Bn et Nn les proba respectives de tirer une boule blanche ou noire au tirage n)
Peu importe l’ordre dans lequel on tire nos quatre boules, la probabilite à la fin d’avoir les 3 boules dans ce lot devrait rester la même non ?
Avez-vous des idées de formulation des événements qui me permettrait d’avancer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"j’ai du mal à comprendre pourquoi la proba devrait être différente selon l’ordre des tirages." ??? Tu as fait deux calculs différents, qui ne correspondent pas à la situation (le premier au moins, j'ai dit pourquoi), c'est normal qu'ils ne coïncident pas. Et quant à l'ordre, tu as mis un ordre des couleurs mais pas des boules. C'est ce qui fausse ton premier calcul.
A toi de rédiger clairement un raisonnement qui te convainc parfaitement (donc qui convaincra les autres). Et donc de donner un sens précis à tes événements BBBN, etc.
Dans le premier cas, en choisissant un univers adapté : Je te l'ai conseillé, tu ne l'as pas fait, donc on ne sait rien de ce que tu désignes ainsi.
Dans le deuxième cas, en choisissant un univers adapté : Je te l'ai conseillé, tu ne l'as pas fait, mais tu sembles mettre un ordre sur les tirage, faire un tirage sans remise qui est exactement un tirage simultané où on met un ordre de tirage. Donc les probas d'événements "non-ordonnés" sont les mêmes (preuve facile); il te faut donc une situation claire où tu définis ce que tu appelles BBBN, etc.
Tu peux aussi, comme je te l'avais dit, choisir l'univers des combinaisons de 4 boules prises parmi les 6 et calculer directement la proba voulue, c'est très rapide.

Les probas sont des maths comme le reste, les preuves sont prioritaires sur les résultats (un résultat "juste" sans preuve n'a aucune validité).

Cordialement.

[jacknicklaus]

Hello,

quand on s'emmêle les pinceaux, une méthode est de clarifier et détailler au maximum. Exemple de démarche :

1) je sors mon stylo feutre, j'inscris 1, 2, 3 sur les 3 blanches; et 4,5,6 sur les 3 noires. On est d'accord que celà ne change rien au tirage
2) quand je tire 4 boules, je les range devant moi en triant par numéro croissant. On est d'accord que celà ne change rien aux calculs, c'est plus joli c'est tout.

Mon univers des possible est l'ensemble des quadruplets de boules (toutes différentes car numérotées) que j'ai devant moi après les avoir triées
Dès lors c’est absolument immédiat répondre à ces 2 questions

Quel taille de l'univers des possibles? ( = combinaisons de * numéros parmi *)
Dans cet univers, combien de cas favorable ? ( = nombre de quadruplets {1,2,3, *}