Inégalité polynomiale sympathique...

[Youpidoua]

Bonjour ! Premier essai en latex sur le forum je vous prie d'excuser des coquilles éventuelles. J'aurai bien besoin d'un peu d'aide sur l'exercice suivant :
"Soit scindé à racines simples. Montrer que pour tout x réel, "

J'ai plusieurs idées :
-on ne peut pas trop manipuler l'inégalité en multipliant/divisant par des polynômes parce qu'il faudrait un signe constant pour tout x réel. On peut par contre multiplier par pour retrouver et le comparer à 1 mais ça ne donne pas grand chose

-sinon j'ai essayé d'exprimer les , et comme produit et somme d'irréductibles mais là encore ça bloque...
J'avais par exemple:

avec les racines de

Et est encore pire (somme de somme de produits) et ne se simplifie pas...
Merci d'avance,
Youpidoua
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[MissJenny]

est-ce que ça ne marcherait pas par récurrence sur le degré de P ? si tu écris P(X)=Q(X)(X-a) l'intérêt est que la dérivée de (X-a) est 1 et la dérivée seconde est nulle.

[GBZM]

Bonjour,

Un moyen de faire est de considérer la dérivée logarithmique . Si sont les racines de , comment varie cette dérivée logarithmique ? Et qu'est-ce que ça dit sur le dénominateur de la dérivée de la dérivée logarithmique ?

[Youpidoua]

Bonjour !
Oui c'est cette piste qui m'a permis d'aboutir, en montrant que P'/P a une dérivée négative, évident lorsqu'on l'écrit comme somme des 1/(X-a_k) et en exprimant P'/P comme (P''*P-P'^2)/P^2, ce qui conclut. Merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Avec plaisir.
en exprimant le dérivée de P'/P, voulais-tu sans doute écrire.

[Youpidoua]

Oui effectivement merci d'avoir relevé la coquille