Démonstrations de la continuité de fonctions vectorielles

[kartal06]

Bonjour,
j'aimerais démontrer la proposition soulignée en rouge.


Merci
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[Nini42]

Ce que tu soulignes n'est pas une proposition mais une définition. Elle n'a pas plus à être démontrée que la définition "un carré est un rectangle dont tous les côtés sont de longueurs égales" ou que "une fonction f : I -> IR est continue sur I ssi pour tout x appartenant à I, pour tout epsilon>0, il existe alpha>0 tel que pour tout y de I, |x-y|<alpha implique |f(x)-f(y)|<epsilon"...
Si tu as une autre définition de la continuité de F, tu peux essayer de démontrer l'équivalence entre ces deux définitions.

[kartal06]

Bonjour,
j'ai repris cet enoncé sur internet mais dans mon cours, c'est une proposition et non une définition.
C'est un enoncé d'exercice et il faut démontrer cette proposition avec la définitions de la limite.

[Nini42]

OK ! Avec l'équivalence des normes en dimension finie (je prends un espace de dimension n, dans ton cas n=2 ou n=3), tu peux le montrer uniquement pour la norme où . Cela simplifie pas mal la démonstration.
Sans l'équivalence des normes, je ne sais pas s'il y a un moyen plus simple ou si la démonstration revient à prouver l'équivalence des normes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Kartal06.

La démonstration se fait facilement avec la norme euclidienne, en utilisant des inégalités simples, par exemple

ou

avec et
La première vient de

la deuxième de

Ces deux propriétés correspondent implicitement à l'équivalence des normes, sans le prouver vraiment.

Donc Kartal06, à toi de rédiger tes preuves, et si tu bloques en route, on t'aidera à continuer.
Si j'avais à le faire, je prouverais que la continuité de F implique celle de ses composantes, puis la réciproque. Et seulement pour 3 composantes, le cas 2D se faisant de la même façon.

Bon travail !

[kartal06]

Voilà ce que j'obtient, pensez vous que la démarche et la rigeur est correcte ?
fcontinue.jpg

[MissJenny]

Si j'avais à le faire, je prouverais que la continuité de F implique celle de ses composantes, puis la réciproque. Et seulement pour 3 composantes, le cas 2D se faisant de la même façon.

ça ne coûte pas plus cher de le montrer pour n composantes.

[Nini42]

- Pour la première implication : je ne comprends pas d'où sort ce n entre 0 et 1 (quand tu majores par n*epsilon). La majoration par epsilon suffirait...

- Pour la deuxième, je pense que tout le monde acceptera ta démonstration mais on pourrait te reprocher le fait que tu arrives, pour tout epsilon, à une majoration par et non par epsilon... Il faudrait idéalement poser epsilon>0 et choisir des delta_i qui permettraient une majoration par . Ainsi une fois ton delta choisi comme minimum des delta_i, tu aurais bien : .

Sinon ça me semble correct.

[gg0]

Comme dans ton autre message, tu fais la confusion entre définition de la limite et définition de la continuité en un point.
La méthode sera la même, mais une preuve qui ne parle pas du sujet est sans utilité.
A refaire. Mieux écrit, STP.