Problème de quantificateur

[lau4321]

Voilà mon problème:
Si on inverse l ordre des quantificateurs de la définition d une fonction continue on obtient :

Il existe t>0 tel que pour tout e>0, ((|x-y|<t)=>(|f(x)-f(y)|<e))

Quand cette proposition est elle vraie?
Des exemples?
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[jacknicklaus]

Bonjour,
à toi aussi

Une fonction constante sur un intervalle, par exemple.

Merci,
mais de rien.

[lau4321]

Merci, Jack Niklaus.

Peux tu stp m expliquer pourquoi?
Seulement les fonctions constantes?

Merci d avance.

[jacknicklaus]

Peux tu stp m expliquer pourquoi?

Un exercice pour toi (on suppose qu'on est sur R)

montrer que si

[A voir en vidéo sur Futura]

[lau4321]

Si la distance entre a et b tend vers 0 alors a=b

[lau4321]

Donc je dois comprendre que dans mon cas, si la distance entre f(x) et f(y) tend vers 0 alors x et y ont la même image et donc la fonction est constante.
Est-ce cela?

[jacknicklaus]

Non, il n'y a pas de "tend vers 0".

Ce que tu as écrit au post #1 est bien plus fort : tu écris que sous une certaine condition, la distance entre deux réels est plus petite que n'importe quel nombre positif arbitraire...

Ca n'a rien à voir avec la continuité, ni avec des réels qui tendent vers quelquechose.
Car là, on dit qu'après avoir choisi un nombre arbitraire, on peut trouver des conditions qui rendent la distance entre 2 réels plus petite que ce nombre choisi

[lau4321]

Je ne suis pas certain de bien comprendre...

[lau4321]

Est ce qu une réponse au post #1 pourrait plutôt être que cette proposition est vraie pour toute fonction possédant une borne supérieure et une borne inférieure? On pourrait effectivement dans ce cas considérer toutes les fonctions constantes mais également, les fonctions sin (x) ou cos (x).

[gg0]

Non !

Et on peut se demander si
* Tu essaie de lire ce qui est écrit par toi
* Tu lis les réponses de Jacknicklaus.
* Tu as une idée préconçue et tu attends qu'on te la confirme.

Dans le doute, je reprends :

Supposons que le t qui est dit exister vaut 1. Ta propriété dit "pour tout e>0, ((|x-y|<t)=>(|f(x)-f(y)|<e))"
Qui sont x et y ? Tu n'as rien dit sur eux !
La tradition des matheux est que deux lettres non précisées soient des valeurs quelconque. Donc ta propriété est
Pour tous nombres x et y, pour tout e>0, ((|x-y|<1)=>(|f(x)-f(y)|<e))
Donc on peut prendre x=1, y=1,2, alors |x-y|<1, et on obtient
pour tout e>0, |f(1)-f(1,2)|<e
Donc |f(1)-f(1,2)|<0,1
|f(1)-f(1,2)|<0,001
|f(1)-f(1,2)|<0,00000000000000000000 000001
etc.
Conclusion ?

Cordialement.

NB : ce que je viens de faire, traduire sur des exemples ta propriété est le travail élémentaire et intelligent que tu aurais dû faire toi-même avant de poser ta question. Tu aurais mieux compris les réponses.

[lau4321]

Bonjour,
Je n'ai aucune idée préconçue, je lis chaque réponse et tente réellement de comprendre ce problème qui, je ne sais pas pourquoi, m'échappe...
Donc ok j essaye de vous lire:
Il existe un t qui selon où on le choisit fait que mes réels x et y sont proches où non. L implication par contre nous oblige à ce que la proposition soit vraie pour toutes les valeurs possibles de e strictement plus grandes que o donc par exemple (comme vous le montrez, je crois) des valeurs très proches de 0. Donc f(x) et f(y) doivent être égales. Donc la fonction doit être constante. Est ce cela?

[gg0]

Oui, si c'est "pour tout x et tout y".

En fait, les valeurs proches sont égales, et, de proche en proche, la fonction ne prend qu'une seule valeur.