An := Ker(ε)
L’ensemble An := Ker(ε), qui est un sous-groupe distingué de Sn, est dit le groupe alterné de
Sn.
Proposition :
An est un sous-groupe normal propre de Sn.
desmonstratiom :
Puisque la signature d’une transposition est −1 et la signature d’un 3-cycle est 1, An
est un sous-groupe normal propre de Sn.
quelqu'un peut m’expliquer la demonstration SVP
un noyau est toujours un sous-groupe distingué. C'est assez facile à démontrer.
oui je sais mais pourquoi normale propre ?
ah pardon, j'avais oublié "propre". Mais tu l'as dit, dès qu'il y a plus d'un élément il existe une transposition de signature -1.
"propre" voulant dire "différent du groupe".
Toute permutation de Sn, n ≥ 2, se décompose en un produit fini de transpositions. On dit que
les transpositions engendrent le groupe Sn.
or la signature de transposition est -1 alors elle n'appartient pas à An donc Sn est differant de An
deux plus si on supose que n ≥ 3 la signature d’un 3-cycle est 1, appartient à An donc An est differant de Id
dou An est propre
