isomorphisme de groupe d'unité

[Abdellah7]

bonjour
pourquoi deux groupes sont isomorphes alors leurs groupes d'éléments inversibles (groupe d'unité ) sont aussi isomorphes ?
merci d'avance
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[MissJenny]

tu veux parler de deux anneaux?

[Abdellah7]

oui
merci

[Abdellah7]

je voulais dire
pourquoi deux anneaux sont isomorphes alors leurs groupes d'éléments inversibles (groupe d'unité ) sont aussi isomorphes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part,

et sont isomorphes via un isomorphisme





et sont isomorphes via l'isomorphisme .

[gg0]

Bon, Anonyme007 a encore répondu par du LaTeX mieux écrit que signifiant. Tu peux laisser tomber Abdellah7.
L'idée intuitive est que si deux structures sont isomorphes, alors ce qui se passe dans l'une se retrouve pour les éléments correspondants de l'autre. Cependant, ça mérite démonstration.
Ici, tu as deux anneaux (A,+,x) et (B,+',*) qui sont isomorphes. Soient f un isomorphisme de A dans B, g sa réciproque, A' le groupe des unités de A, B' celui de B. Démontre (*) :
* si x est un élément de A', alors f(x) est dans B';
* réciproquement, si y est dans B', alors g(y) est dans A'
* f restreint à A' est un isomorphisme de groupe de (A',x) sur (B',*).

A toi de faire, c'est simple, ça ne demande aucune connaissance autre que les définitions des mots utilisés. Si tu doutes sur des définitions, demande.

Cordialement.

(*) je t'ai donné des noms simples pour que tu puisses le faire

[Abdellah7]

merci beaucoup