Bonsoir tout le monde , alors j'ai un petit exercice , il me demande de monter que :
Si f est injective ==> (alors) <a> est isomorphe a Z. avec le <a> le ss groupe engendré par a ={a^n ; n appartient à Z}
Alors je sais que pour determiner que c'est un isomorphisme de groupe il faut que l application soit bijective et nous savons déja que f est inj donc on a besoin juste de determiner si f est surjective . je ne sais pas d'ou je commence . j'apprécie bien si quelqu'un puisse m'aider.
Dernière modification par skandertrifa ; 13/11/2017 à 19h14.
Bonjour.
Il manque pas mal d'éléments pour qu'on puisse comprendre de quoi tu parle. Qui est f (F ?) ? qui est a ? quel sens a la notation a^n ?
la fin montre que tu es dans une réflexion sur une situation que tu nous caches !!
Merci pour votre réponse , f=F c'est juste une faute de frappe , et f est l'application de : (Z,+) ===> (G.*) , n ==> a^n (c'est a puissance n) et f est un morphisme de groupe
<a> ss groupe de (G.*) qui est le ss groupe engendré par a qui est égale à { a^n ; n appartient à Z}
je m'excuse pour le manque des informations .
Ok,
maintenant je sais de quoi tu parles. <a> étant l'ensemble des a^n=f(n) est exactement f(Z). Donc f est surjective.
C'est un peu bizarre que tu n'aies pas vu cette évidence.
Cordialement.
LOL c'est tellement facile , merci beacoup monsieur .
Dans le meme contexte comment montrer que si f inj l ordre de a cad |a|=oo est l inifini ?
Ben ...là encore c'est une évidence, tu viens de le montrer. Revois ce qu'est l'ordre.
Sinon, on peut le prouver directement en supposant que l'ordre est fini. Une fois traduit, ça dit que f n'est pas injective.
NB : Évite de trop écrire style sms. Injective est plus lisible que inj.
