Isomorphisme groupe morphisme bijection

[invite39fea328]

bonjours j'aurai besoin d'aide pour montrer que (G,*) est isomorphe à (R*,o) tel que x*y= x+y+xy
j'arrive pas à exprimer f(x)of(y)... vous pouver m'aider?
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[invite39fea328]

sil vous plait, aidez moi car je vois vraiment pas...

[invited749d0b6]

Bonjour,

Qu'est-ce que le groupe G et la loi ° ?

[invite39fea328]

G c'est la plus gande partie de R (réelle) sur laquelle la loi * soit une loi de groupe. Quant à o on m'indique pas ce que c'est mais je suppose que c'est la composée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39fea328]

ce qui me bloc surtout c'est que en fait je comprend pas ce qu'est f(y) et f(x)

[invite39fea328]

vous arrivez à comprendre, G13?

[invite39fea328]

En fait! non jme suis tromper, o c'est pas la composé mais c'est l'opération multiplication. Maintenant que je suis sur de ça vous pouvez m'aider à exprimer f(y) et f(x) sil vous plait?

[invited749d0b6]

Cherchons d'abord l'élément neutre e de *:
pour tout x, x+e+xe=x. Donc e+xe=0. Donc (1+x)e. Donc si G ne se limite pas à -1, e=0.
Si G={-1}, (G,*) est un groupe mais ce n'est pas très intéressant, on suppose donc que G différent de {-1}, donc e=0.
Cherche maintenant l'inverse d'un élément x de (G,*) (sans trop savoir encore ce qu'est G, c'est vrai...) c'est à dire y tel que x+y+xy=e=0.

[invite39fea328]

ok mais pk, quand vous chercher le neutre e de G vous l'exprimer pas de la manière suivante: (x*y)e= (x+y+xy)e= x*y
De plus après avoir obtenu l'inverse en plus par la suite, je ne vois pas on ça nous mène?

[invite39fea328]

Donc je viens de trover que son inverse était y= (-x)/(1+x).
Faut-il que j'écrive f(y)= f((-x)/(1+x)) et essayer de calculer f(x) x (fois) f(y) ?

[invite39fea328]

a moin qu'il faut que je montre que f(x)of(y) à le mm neutre et le mm inverse que f(x*y)? si c'est le cas, comment trouver le neutr eet l'inverse de f(x)of(y)??svp

[invited749d0b6]

-x/(x+1)=-1+1/(x+1).
Donc on pose G=R\{-1} pour que tout élément ait un inverse
et f:G -> R* tel que f(x)=x+1.
On a bien f(x)f(y)=(x+1)(y+1)=1+x+y+xy=1 +x*y=f(x*y).
Donc f est un morphisme.

[invite39fea328]

chui vraiment désolé mais je vois vraiment pas comment vous faites pour savoir que f(x)=x+1 et a quoi nous sert d'exprimer y d'une autre manière..
Doit y avoir un détail qui m'échappe mais je vois pas du tout ce que c'est

[invited749d0b6]

a moin qu'il faut que je montre que f(x)of(y) à le mm neutre et le mm inverse que f(x*y)? si c'est le cas, comment trouver le neutr eet l'inverse de f(x)of(y)??svp

Soit (H,*) un groupe, l'élément neutre de H est un élément e de H tel que pour tout x appartenant à H, x*e=e*x=x.
On dit aussi que e est l'élément neutre pour la loi *.
Donc trouver le neutre ou l'inverse de f(x)of(y) n'est pas une phrase correcte vu que x,y -> f(x)of(y) n'est pas une loi de groupe vu que x,y appartiennent à un groupe et f(x) et f(y) à un autre. En effet, une loi de groupe * sur H associe à deux éléments du groupe H un élément de H.

Dans l'exercice, c'est vrai qu'il ne sert à rien de calculer l'inverse de x pour la loi *, mais ça donne une indication sur le morphisme f possible.

[invite39fea328]

ok.
J'ai encore une dernière question.
Pour voir si (G,*) est un groupe morphisme de (G', +), par exemple, il faudra toujours que je chercher le neutre et l'inverse de *, comme ça j'arriverai à avoir une relation de f(x)+f(y) avec x,y appartiennent à G. Le problème c'est qu'ici, si j'ai bien compris on à arrivé a établir la relation f(x)=x+1 parce que G=R\(-1), mais il est possible que dans d'autre exemple G=R et que deplus G'=R, et dans ces conditions il est difficile de trouver la relation f(x) car celle si peut etre égale à x, ou x + 1.....

[invited749d0b6]

Dans le cas général, je ne sais pas comment trouver un isomorphisme entre deux groupes donnés (si ils sont isomorphes). Je ne pense pas qu'il y ait une méthode qui marche tout le temps.

[invite39fea328]

ok, dommage^^ car je bloc à nouveau sur une histoire de morphisme avec x*y= racinecubique de(x^3+y^3) tel que f: (R,*)=(R,+)

[invitef9941382]

x*y = (x³ + y³) ^1/3
=> (x*y)³ = x³ + y³

Donc en posant f(x) = x³ on trouve tout simplement :
f(x*y) = f(x) + f(y)
Donc f est un morphisme bijectif (isomorphisme) de (R,*) dans (R,+)
Par contre, je connait pas trop la technique pour trouver cette isomorphisme (sans expérience). C'est pourquoi j'ai chercher sur google une technique pour trouver le morphisme adéquat dans le cas générale et c'est ainsi que je suis tombé sur ce message .
J'espère que quelqu'un puisse m'aider si il existe une méthode simple et efficace .

NB: j'ai pu faire celui de cara_mous par expérience (vu que j'en ai fait un similaire il y a pas longtemps de sa: x*y = (x² + y²)^1/2 )