Complexe L1

[invitedcc7860a]

Bonjour,

J'aimerai que vous m'aidiez afin de résoudre un exercice d'algèbre sur les nombres complexes.
Résoudre dans C :
- 2z²+(5 + i)z + 2 + 2i

J'identifie : a = 2 b=(5 + i) c = 2 + 2i
Delta = 8 - 6i

Mais ensuite quoi ?

Résoudre de 2facon
z²=(racine(3)/2)+(1/2).i
J'ai réussi a résoudre avec le systeme x²+y²=racine3/2 ...
C'est au niveau de la résolution par trigonométrie que je coince.
|z|²=1 |z²|=1 |z|=1
z²=|z|²(cos O + isin O)²
D'après la formule de moivre
z²=|z|²(cos 2O + i sin 2O)
z²=(cos2O + isin 2O) car le module vaut 1.
donc cos 2O = (racine3/2) et sin 2O = 1/2

Mais après ? J'en ai conclu que O = pi/6 c'est ça ?

Voila enfin dernière petite question, z^5= i (racine e-nième)
pe^iOpi = i mais après je coince.

Pour info cela vient d'un devoir qu'un ami m'a donner mais je n'ai pas la correction et j'aurai bien aimé un petit coup de pouce .
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[invitef9941382]

0) Idée

a) En faite le cours dit que :
z'= [- b + (Delta)^1/2]/2a
z"= [- b - (Delta)^1/2]/2a
Donc, il suffit juste de remplaçer !!
Mais un problème survient lors du remplaçement : on ne connait pas racine de delta.
Il faut donc juste trouver racine de delta et t'auras "fini" !!
b)z⁵ = i = e^i*(pi/2) (a 2*k*pi près).
Donc z = ...

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I) Enoncé :
Je suppose que tu cherche les racines du polynôme complexe .
Si c'est le cas, alors:
2z²+(5 + i)z + 2 + 2i = 0
a = 2
b = 5+i
c = 2+2i
Delta =b²-4ac = 8-6i

II) Cours:
Les racines sont par définition de la forme :
z'= [- b + (Delta)^1/2]/2a
z"= [- b - (Delta)^1/2]/2a

III) Résolution:
Il faut donc alors calculer racine(delta) !
(8-6i)^1/2 = x+iy
donc 8-6i = (x+iy)² = x²+2ixy -y²
on aboutit alors à un système de trois équations à deux inconnues suivant :
(1) Re(8-6i) = Re( (x+iy)²) <=> 8 = x² - y²
(2) Im(8-6i) = Im( (x+iy)² ) <=> -6 = 2xy
(3) |8-6i| =|x+iy|² <=> 10 = x² + y²
On trouve alors :
x=3
y=-1
Donc delta = (3-i)²
Alors (delta)^1/2=3-i (et c'est ce qu'on cherchait !! )

IV) Conclusion :
En remplaçant dans II) on trouve tout simplement :
z'= ((-5-i) +(3- i))/2*2 => z'=-(1/2)*(1+i) = (1/rac(2)) * exp(-3*i*pi /4)
z"= ((-5-i) -(3- i))/2*2 => z"=-2
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En posant z⁵ = i = exp(i*((pi/2) + 2*k*pi)) (avec k entier relatif).
On trouve z= exp(i*[(pi/2) + 2*k*pi]) ^1/5 .
donc z = exp(i*[(pi/10) + 2*k*pi*(1/5)])
donc S= {z_k = exp(i*[(pi/10) + 2*k*pi*(1/5)]) } (avec k appartenant a {0,1,2,3,4} ).
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NB: si je ne me suis pas trompé