Prouver la linéarité d'une fonction
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Prouver la linéarité d'une fonction



  1. #1
    invitee210c01d

    Prouver la linéarité d'une fonction


    ------

    Bonjour,

    Tout d'abord je voudrais préciser que j'ai résolu cet exercice avec pour seule base mon bon sens et mes connaissances de Première S, je suis très interessé par les mathématiques du supérieur et c'est pourquoi je me suis penché sur cet exercice :

    Énoncé :
    Soit un espace vectoriel de R définissant des polynômes de degré 2 , au plus avec pour base canonique.
    Soit une fonction définie comme suit :


    Vérifier que est bien à valeurs dans et montrer que est linéaire.

    Réponse :
    Si est à valeurs dans alors peut s'écrire sous la forme avec et .
    Soit .





    est donc bel et bien à valeurs dans .

    Soit et et . est linéaire si (il s'agit d'une supposition ici car j'ignore la méthode utilisée habituellement pour démonter la linéarité d'une fonction comme celle ci) :
    Soit et
    .
    De on déduit :

    On en déduit ensuite que et que est linéaire.

    Voila comment j'ai résolu l'éxercice avec les faibles connaissances que j'ai . Mon but est d'apprendre à résoudre divers problème de façon rigoureuse donc j'aimerais savoir si mon raisonnement présente des défauts de formulation ou de considération.

    -----

  2. #2
    invitefb16e658

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    de façon rigoureuse tu dois montrer que pour tout k appartenant à R et Q appartenant à R2 on a :
    f(kP)=k*f(P)
    et f(P+Q)=f(P)+f(Q)
    bonne chance

  3. #3
    ericcc

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    En fait maina, la méthode de notre "zauberlehrling" est correcte : on peut montrer en une seule fois que f(P+kQ)=f(P)+kf(Q) pour k,P et Q quelconques.

    Par contre on peut simplifier le raisonnement en disant que l'addition et la composition d'applications linéaires sont linéaires.

    On n'a plus qu'à le montrer pour f(P)=P(X+1) et g(P)=P(X/2), ce qui évite de longs calculs

  4. #4
    invitee210c01d

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    Merci pour vos réponses. Effectivement j'y suis allez franchement moi (tant qu'à faire) et j'ai du rédiger beaucoups de gros calculs...
    Je voulais surtout savoir si ma façon de faire était suffisante ou s'il fallait utiliser des méthodes obscures qui me sont encore inconnues.
    Effectivement avec un peu d'astuce on se facilite grandement la tâche, j'y penserais.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite392a8924

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    salut
    tu as de bon raisonement , mais pour un consiel il te faut un bagage théorique pour que tu puisse aller plus loin , nous somme tous là pour te donner de l'aide

    merci et bon courage

  7. #6
    invitee210c01d

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    J'en suis conscient mais il est relativement compliqué (et long) d'anticiper le programme dans son intégralité.

  8. #7
    invite6b1a864b

    Re : Prouver la linéarité d'une fonction

    Citation Envoyé par apprentimagicien Voir le message
    Bonjour,

    Tout d'abord je voudrais préciser que j'ai résolu cet exercice avec pour seule base mon bon sens et mes connaissances de Première S, je suis très interessé par les mathématiques du supérieur et c'est pourquoi je me suis penché sur cet exercice :

    Énoncé :
    Soit un espace vectoriel de R définissant des polynômes de degré 2 , au plus avec pour base canonique.
    Soit une fonction définie comme suit :


    Vérifier que est bien à valeurs dans et montrer que est linéaire.

    Réponse :
    Si est à valeurs dans alors peut s'écrire sous la forme avec et .
    Soit .





    est donc bel et bien à valeurs dans .

    Soit et et . est linéaire si (il s'agit d'une supposition ici car j'ignore la méthode utilisée habituellement pour démonter la linéarité d'une fonction comme celle ci) :
    Soit et
    .
    De on déduit :

    On en déduit ensuite que et que est linéaire.

    Voila comment j'ai résolu l'éxercice avec les faibles connaissances que j'ai . Mon but est d'apprendre à résoudre divers problème de façon rigoureuse donc j'aimerais savoir si mon raisonnement présente des défauts de formulation ou de considération.
    alors comme d'habitude, moi j'ai arrêté trop tôt les maths, donc le langage que vous employez à l'air du charabia..

    mais en réflechissant, il me parait claire quelle que soit les constantes A, B, C, D :

    si P est un polynome C*P(A*X+B)+D est un polynôme de même degrés.. (et que le passage de l'un à l'autre est linéaire.. )
    [ avec aussi A*P(X) + B * P(X) = (A+B) * P (X), toujours linéaire.. )

    ce que je veux dire, c'est que la démonstration est bonne, mais qu'on va plus vite en pensant en terme de transformation des coefficient.. quelque soit le polynome P, si A et B sont constants, A*P + B est un polynome de même degrés (sauf si A= 0, certes) .

    puis si vous

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