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problème de fonction affine et de linéarité



  1. #1
    blinki974

    problème de fonction affine et de linéarité


    ------

    bonjour ou rebonjour à ceux que j'ai déjà croisés sur d'autre sujet de forum (un grand merci à eux pour leur précieux aides)
    voilà j'ai encore 2 exercices de devoir à faire pour lundi mais j'arrive pas à trouver les pistes... pouvez vous m'aidez encore une fois? (merci d'avance)
    voici l'énoncé des 2 exos:

    exo 1:

    Soit f appartenant à RR telle que pour tout x appartenant à ]a,b[, il existe E>0 telle que
    x+E<b
    x-E>a
    f(x)= (1/2)(f(x-E) + f(x+E))

    Montrer que f est affine en expliquant pourquoi g(x)= f(x) -(f(a)+(x-a) (f(a)-f(b))/(b-a) ) ne peut pas être non identiquement nulle (je pense que sa veut dire qu'il faut montrer que g est identiquement nulle finalement non?)

    voilà ce que j'ai fait: j'ai dérivé g(x) et j'ai trouvé:
    g'(x)= f'(x) - (f(a)-f(b))/(b-a))...
    mais je me demande si c'est vraiment utile ce que j'ai fait? si oui, que dois faire après? sinon quelle piste doit prendre pour résoudre ce problème?


    exo 2:

    Montrer que si g appartient à RR est continue telle que g(x+y) = g(x) + g(y) pour tout couple (x,y) appartenant à R2 alors g est linéaire (c'est à dire que pour tout (@, x, y) appartenant à R3, g(@x +y) = @g(x) + g(y).

    cette exo je ne vois aucune piste. j'ai essayé d'écrire x et y en fonction d'autre réel comme par exemple x= a + b et y = c +d mais j'arrive pas à avancer pour montrer que c'est linéaire... pouvez vous m'aidez également svp?

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    Bonjour,
    Citation Envoyé par blinki974 Voir le message
    Montrer que f est affine en expliquant pourquoi g(x)= f(x) -(f(a)+(x-a) (f(a)-f(b))/(b-a) ) ne peut pas être non identiquement nulle (je pense que sa veut dire qu'il faut montrer que g est identiquement nulle finalement non?)
    Pas tout à fait, si on fait ce qui est indiqué alors on aura montré que g est nulle partout. Mais la méthode indiqué est le raisonnement par l'absurde, il faut trouver une contradiction à l'hypothèse g non nulle partout, cad il existe x dans ]a,b[ tel que g(x) non nulle, utilisation de l'hypothèse, on regarde, on la réutilise éventuellement...

    Citation Envoyé par blinki974 Voir le message
    voilà ce que j'ai fait: j'ai dérivé g(x)
    Pour que soit dérivable il faut (et il suffit) que f le soit. Il semblerait que ce n'est pas dans les hypothèses. Maintenant, il doit y avoir au moins une hypothèse cachée car j'ai un contre-exemple si f n'est pas supposée continue (caractéristique de Q avec comme intervalle ]a;b[ n'importe lequel convient)
    Par la voie indiquée je ne vois pas encore mais il me semble que la dérivabilité soit une hypothèse inutile.

    Citation Envoyé par blinki974 Voir le message
    exo 2
    Celui-ci est un classique par contre :
    l'idée est de montrer que g(x)=g(1).x
    a) écrire successivement en fonction de g(1) : g(2), g(n), g(-n), n entier positif, g(1/2), g(1/m) m entier positif, g(n/m)
    b) utiliser, entre autres, la continuité de f pour conclure.

  3. #3
    blinki974

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    ah oui j'ai oublié d'indiquer n truc dans l'énoncé de l'exo 1...
    f est continue!

  4. #4
    blinki974

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    au fait... peut-on dire dans l'exo 1

    x+E<b
    x-E>a
    f(x)= (1/2)(f(x-E) + f(x+E))


    que a+E<x<b-E?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    Re,
    que peut-on dire de g(a) et de g(b) ?
    que peut-on dire de g(x), g(x-E), g(x+E) dans les conditions de l'énoncé ?
    si g atteint son max en x que peut-on dire de g(x-E) et de g(x+E) ?
    à quel condition un sous-ensemble de R admet une borne supérieure (ou inférieure)?
    En répondant à ces questions on parvient à montrer que max(g)=0.
    De même on montre que inf(g)=0.

  7. #6
    rvz

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    Salut,

    Je suis arrivé à la même conclusion d'homotopie (faut dire qu'il se trompe pas souvent ), mais si tu veux faciliter la rédaction, je te conseille de regarder la quanité
    x_0 = inf { x tel que g(x) = max (f) }.

    __
    rvz

  8. #7
    blinki974

    Re : problème de fonction affine et de linéarité

    merci bcp j'ai aussi oublié de vous signalez que les 2 exercices sont indépendants...

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