problème de fonction affine et de linéarité

[invite720ac287]

bonjour ou rebonjour à ceux que j'ai déjà croisés sur d'autre sujet de forum (un grand merci à eux pour leur précieux aides)
voilà j'ai encore 2 exercices de devoir à faire pour lundi mais j'arrive pas à trouver les pistes... pouvez vous m'aidez encore une fois? (merci d'avance)
voici l'énoncé des 2 exos:

exo 1:

Soit f appartenant à R^R telle que pour tout x appartenant à ]a,b[, il existe E>0 telle que
x+E<b
x-E>a
f(x)= (1/2)(f(x-E) + f(x+E))
Montrer que f est affine en expliquant pourquoi g(x)= f(x) -(f(a)+(x-a) (f(a)-f(b))/(b-a) ) ne peut pas être non identiquement nulle (je pense que sa veut dire qu'il faut montrer que g est identiquement nulle finalement non?)

voilà ce que j'ai fait: j'ai dérivé g(x) et j'ai trouvé:
g'(x)= f'(x) - (f(a)-f(b))/(b-a))...
mais je me demande si c'est vraiment utile ce que j'ai fait? si oui, que dois faire après? sinon quelle piste doit prendre pour résoudre ce problème?


exo 2:

Montrer que si g appartient à R^R est continue telle que g(x+y) = g(x) + g(y) pour tout couple (x,y) appartenant à R² alors g est linéaire (c'est à dire que pour tout (@, x, y) appartenant à R³, g(@x +y) = @g(x) + g(y).

cette exo je ne vois aucune piste. j'ai essayé d'écrire x et y en fonction d'autre réel comme par exemple x= a + b et y = c +d mais j'arrive pas à avancer pour montrer que c'est linéaire... pouvez vous m'aidez également svp?
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[invite35452583]

Bonjour,

Montrer que f est affine en expliquant pourquoi g(x)= f(x) -(f(a)+(x-a) (f(a)-f(b))/(b-a) ) ne peut pas être non identiquement nulle (je pense que sa veut dire qu'il faut montrer que g est identiquement nulle finalement non?)

Pas tout à fait, si on fait ce qui est indiqué alors on aura montré que g est nulle partout. Mais la méthode indiqué est le raisonnement par l'absurde, il faut trouver une contradiction à l'hypothèse g non nulle partout, cad il existe x dans ]a,b[ tel que g(x) non nulle, utilisation de l'hypothèse, on regarde, on la réutilise éventuellement...

voilà ce que j'ai fait: j'ai dérivé g(x)

Pour que soit dérivable il faut (et il suffit) que f le soit. Il semblerait que ce n'est pas dans les hypothèses. Maintenant, il doit y avoir au moins une hypothèse cachée car j'ai un contre-exemple si f n'est pas supposée continue (caractéristique de Q avec comme intervalle ]a;b[ n'importe lequel convient)
Par la voie indiquée je ne vois pas encore mais il me semble que la dérivabilité soit une hypothèse inutile.

exo 2

Celui-ci est un classique par contre :
l'idée est de montrer que g(x)=g(1).x
a) écrire successivement en fonction de g(1) : g(2), g(n), g(-n), n entier positif, g(1/2), g(1/m) m entier positif, g(n/m)
b) utiliser, entre autres, la continuité de f pour conclure.

[invite720ac287]

ah oui j'ai oublié d'indiquer n truc dans l'énoncé de l'exo 1...
f est continue!

[invite720ac287]

au fait... peut-on dire dans l'exo 1

x+E<b
x-E>a
f(x)= (1/2)(f(x-E) + f(x+E))

que a+E<x<b-E?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Re,
que peut-on dire de g(a) et de g(b) ?
que peut-on dire de g(x), g(x-E), g(x+E) dans les conditions de l'énoncé ?
si g atteint son max en x que peut-on dire de g(x-E) et de g(x+E) ?
à quel condition un sous-ensemble de R admet une borne supérieure (ou inférieure)?
En répondant à ces questions on parvient à montrer que max(g)=0.
De même on montre que inf(g)=0.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je suis arrivé à la même conclusion d'homotopie (faut dire qu'il se trompe pas souvent ), mais si tu veux faciliter la rédaction, je te conseille de regarder la quanité
x_0 = inf { x tel que g(x) = max (f) }.

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rvz

[invite720ac287]

merci bcp j'ai aussi oublié de vous signalez que les 2 exercices sont indépendants...