Bonjour.
Je dois déterminer le nombre de morphismes de groupes de Z/aZ dans Z/bZ.
On a nécessairement 0=f(a)=af(1)
Soit f(1)=0 et dans ce cas, f est le morphisme nul.
Soit a=0 dans Z/bZ, donc b|a.
Donc déjà une condition pour que le morphisme
f : Z/aZ -> Z/bZ existe, il faut que b|a.
1 engendre Z/aZ, donc f(1) détermine entièrement l'image de f.
0=f(a)=af(1)
Donc af(1)=kb et f(1)=kb/a
Et la je ne vois pas trop comment continuer...
Un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul n'est valable que dans une structure intègre.Envoyé par Ganash
a=3, b=6 f(1)=2 on a bien af(1)=0 dans Z/6Z mais ni a ni f(1) ne sont nuls.
J'espère que tu as déjà vu les sous-groupes des Z/nZ.
Tu as f: Z/aZ->Z/bZ
f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe donc est isomorphe à un Z/dZ avec d ...
f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ donc d...
Finalement d doit vérifier une condition simple. Pour ces d regarder comment le sous-groupe engendré par f(1) pour que celui-ci soit égal à l'unique sous-groupe de Z/bZ isomorphe à Z/dZ. Vérifier que cette condition est suffisante.
Compter.
Evidemment, mea culpa...Un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul n'est valable que dans une structure intègre.
a=3, b=6 f(1)=2 on a bien af(1)=0 dans Z/6Z mais ni a ni f(1) ne sont nuls.
f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ, il s'écrit donc dZ/bZ où d divise a.J'espère que tu as déjà vu les sous-groupes des Z/nZ.
Tu as f: Z/aZ->Z/bZ
f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe donc est isomorphe à un Z/dZ avec d ...
f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ donc d...
Finalement d doit vérifier une condition simple. Pour ces d regarder comment le sous-groupe engendré par f(1) pour que celui-ci soit égal à l'unique sous-groupe de Z/bZ isomorphe à Z/dZ. Vérifier que cette condition est suffisante.
Compter.
Je ne comprends pas le "f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe".
Ca vient d'où ca exactement ?
Merci pour ton aide.
Ok au temps pour moi f(Z/aZ) est isomorphe à (Z/aZ)/ker(f)...
Bon alors :
Ker(f) sous groupe de Z/aZ, donc ker(f)=dZ/aZ avec d divise a.
Par le théorème d'isomorphisme :
(Z/aZ)/(dZ/aZ)=f(Z/aZ)
De plus, f(Z/aZ) est un sous groupe de Z/bZ.
Donc f(Z/aZ)=pZ/bZ où p divise b.
Donc on a l'isomorphisme suivant :
pZ/bZ = (Z/aZ)/(dZ/aZ)
J'imagine que j'ai raté un truc.
