Idéal maximal, morphisme d'anneaux

invitebb921944 · 26/04/2008, 15h59

Bonjour,
Je bloque sur le problème suivant :
Soit A un anneau, M un A-module.
Soit $\text{[math]}$
Je veux montrer que $\text{[math]}$ est un idéal maximal de A.
On sait que $\text{[math]}$ est surjective.

Soit donc I un idéal de A tel que :
$\text{[math]}$
On a $\text{[math]}$
Donc
$\text{[math]}$ par surjectivité de $\text{[math]}$
Or, M est un A-module irréductible, je peux en déduire que
$\text{[math]}$
Comment maintenant en déduire que nécessairement, I=A ?

En gros, comment passer de "F est un idéal maximal de B, c'est l'image par un morphisme d'anneaux surjectif K : A -> B de l'idéal P" à : "P est maximal".

Merci pour votre aide.

invite57a1e779 · 27/04/2008, 01h29

Envoyé par Ganash

Bonjour,
Je bloque sur le problème suivant :
Soit A un anneau, M un A-module.
Soit $\text{[math]}$
Je veux montrer que $\text{[math]}$ est un idéal maximal de A.
On sait que $\text{[math]}$ est surjective.

Soit donc I un idéal de A tel que :
$\text{[math]}$
... je peux en déduire que
$\text{[math]}$
Comment maintenant en déduire que nécessairement, I=A ?

Soit $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , puisque $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
Mézalor $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ donc à $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ également...

invitebb921944 · 27/04/2008, 02h12

C'est émouvant l'algèbre quand même...
Merci.

Idéal maximal, morphisme d'anneaux

Idéal maximal, morphisme d'anneaux

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