Sous-directe somme, morphisme d'anneaux et injectivité.

[invitebb921944]

Bonjour,
Je ne comprends pas quelque chose dans un bouquin.
On me donne :

Définition :
Soit un index dénombrable.
On dit que est une sous-directe somme des anneaux s'il existe un morphisme d'anneaux injectif tel que pour tout où est la surjection canonique.


Lemme :
Soient un anneau et un morphisme d'anneaux.
Alors est une sous-directe somme des si

Je dois démontrer ce lemme.
J'essaie donc de trouver un morphisme d'anneaux injectif .

Je pose :

(Je suppose que est fini. Je pense que c'est le cas d'ailleurs car le dénombrable, je l'ai inventé en pensant que c'était le plus raisonnable.)

On a clairement que est un morphisme d'anneaux. Mon problème, c'est l'injectivité.

équivaut à pour tout . Ce qui équivaut en gros à injectif pour tout
si je ne m'abuse.

Or, l'hypothèse ne me dit pas ça... Un seul des peut être nul pour avoir cette condition, les autres n'ont donc aucune raison d'être injectif.

Qu'est-ce que j'ai raté ?

Merci pour votre aide.
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[invite769a1844]

Bonjour,

pour montrer le lemme je pense qu'il serait plus intéressant à chercher à définir un morphisme d'anneaux
telle que pour tout on ait .

Pour un élément , on aurait alors que la condition entraîne que pour tout , on a ,

d'où pour tout , ,

ie ,

d'où l'injectivité de .

A voir.

[invitebb921944]

Oui tu as raison, je m'y prends à l'envers.
Au passage, j'ai fait une erreur, n'a rien d'une surjection canonique, c'est simplement la projection de sur (d'ailleurs, ils auraient du changer l'indice dans cette définition, je trouve ça étrange...)

Il suffirait donc de poser si j'ai bien compris
où chaque serait surjective... Pourquoi aurais-je le droit de faire cela ?

Merci pour ton aide en tous les cas.

[invitebb921944]

Je suis en train de me dire qu'ils supposent peut-être déjà implicitement que est surjective.

On me dit : "Let be homomorphisms of onto rings ."

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Oui tu as raison, je m'y prends à l'envers.
Au passage, j'ai fait une erreur, n'a rien d'une surjection canonique, c'est simplement la projection de sur (d'ailleurs, ils auraient du changer l'indice dans cette définition, je trouve ça étrange...)

Il suffirait donc de poser si j'ai bien compris
où chaque serait surjective... Pourquoi aurais-je le droit de faire cela ?

Merci pour ton aide en tous les cas.

surjection et projection c'est un peu synonyme pour moi.

oui dans le cas où , l'application est clairement bien définie et on a bien , et c'est bien un morphisme d'anneau.

je pense que "onto" nous renseigne sur la surjection des .

[invitebb921944]

Merci beaucoup

[God's Breath]

Bonjour Ganash,

J'ai l'impression que tu mélanges tout.
Les morphismes permettent de définir de dans par pour tout de .

Tu vérifies rapidement que c'est un morphisme :
– pour tout et tout dans : ;
– pour tout et tout dans : ;
– .

Ensuite est nul si, et seulement si, pour tout , est nul, donc si, et seulement si, appartient à , et ... l'injectivité de .

Enfin, pour tout , on a par définition même de .

Dernier point, les projections sont surjectives par définition même du produit.
Tout de est la projection de où pour et ...

Le cardinal de l'ensemble n'a rien à voir dant tout ça.

[invitebb921944]

D'accord merci pour ces précisions mais :
est-on d'accord pour dire que le "onto" de la définition veut dire que est surjectif ?

[God's Breath]

D'accord merci pour ces précisions mais :
est-on d'accord pour dire que le "onto" de la définition veut dire que est surjectif ?

Sans aucune hésitation l'utilisation de "onto" affirme la surjectivité, qui découle de la définition d'un produit dans une catégorie...

[invitebb921944]

Merci beaucoup !