Radical de Jacobson et inversibilité

[invitebb921944]

Bonjour,
Comment montrer que si où désigne le radical de Jacobson, alors est inversible pour tout ?
Sachant que j'ai comme définition que est l'intersection des idéaux maximaux de .

Soit .
Alors pour tout où désigne un idéal maximal.
Par définition, pour tout .
Comme est maximal, et donc,
. Donc le seul idéal de contenant est lui-même.
Je ne vois pas bien comment conclure...

Sinon, quelqu'un connait-il la correspondance entre ces deux définitions :

J(A) est l'intersection de tous les idéaux maximaux de A.
J(A) est l'intersection de tous les éléments qui annulent tous les A-modules irréductibles, c'est à dire l'ensemble des éléments a de A tel que Ma=(0) pour tout M A-module irréductible.

En fait, j'essaie de trouver une correspondance entre la deuxième définition et le fait que "1-ax inversible pour tout a"....
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[Garf]

L'idéal engendré par (1-ax) est donc A...

[invitebb921944]

Merci Garf c'était pourtant facile...

Bon j'ai montré que les A-modules irréductibles sont exactement les où les sont les idéaux maximaux de A.

Donc j'essaie de trouver un lien avec la démonstration précédente !

Soit , on a pour tout A-module M irréductible, Ma=(0) avec où est un idéal maximal de A.

Bon et là je crois qu'il est tard j'arrive à écrire n'importe quoi...

Ma=(0) veut dire par exemple (puisque 1 est dans A et pas dans à cause de la maximalité de , 1 est dans M).
Donc et là je me dis que je fais n'importe quoi car j'écris qu'un élément est égal à un ensemble...
Grrrrrr