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Radical de Jacobson et inversibilité



  1. #1
    invite43219988

    Radical de Jacobson et inversibilité


    ------

    Bonjour,
    Comment montrer que si désigne le radical de Jacobson, alors est inversible pour tout ?
    Sachant que j'ai comme définition que est l'intersection des idéaux maximaux de .

    Soit .
    Alors pour tout désigne un idéal maximal.
    Par définition, pour tout .
    Comme est maximal, et donc,
    . Donc le seul idéal de contenant est lui-même.
    Je ne vois pas bien comment conclure...

    Sinon, quelqu'un connait-il la correspondance entre ces deux définitions :

    J(A) est l'intersection de tous les idéaux maximaux de A.
    J(A) est l'intersection de tous les éléments qui annulent tous les A-modules irréductibles, c'est à dire l'ensemble des éléments a de A tel que Ma=(0) pour tout M A-module irréductible.

    En fait, j'essaie de trouver une correspondance entre la deuxième définition et le fait que "1-ax inversible pour tout a"....

    -----

  2. #2
    Garf

    Re : Radical de Jacobson et inversibilité

    L'idéal engendré par (1-ax) est donc A...

  3. #3
    invite43219988

    Re : Radical de Jacobson et inversibilité

    Merci Garf c'était pourtant facile...

    Bon j'ai montré que les A-modules irréductibles sont exactement les où les sont les idéaux maximaux de A.

    Donc j'essaie de trouver un lien avec la démonstration précédente !

    Soit , on a pour tout A-module M irréductible, Ma=(0) avec est un idéal maximal de A.

    Bon et là je crois qu'il est tard j'arrive à écrire n'importe quoi...

    Ma=(0) veut dire par exemple (puisque 1 est dans A et pas dans à cause de la maximalité de , 1 est dans M).
    Donc et là je me dis que je fais n'importe quoi car j'écris qu'un élément est égal à un ensemble...
    Grrrrrr

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