Bonjour à tous, voilà je bloque depuis un bon petit moment sur un exercice:
Soit f un endomorphisme, qui vérifie rg(f) < rg(f)
Question: L'endomorphisme f est-il diagonalisable ? Justifier.
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre.
Merci beaucoup pour votre aide.
L'endomorphisme f, en tous cas, n'existe pas.
rg(f) > rg(f^2), ça marchera mieux.
Suppose f diagonalisable. Le rang de f est celui d'une matrice diagonale qui lui est semblable. Le rang de f^2 est celui du carré de cette même matrice diagonale, que tu peux exprimer facilement à partir de la matrice diagonale initiale. Qu'en déduire à propos de rg(f) et de rg(f^2) ?
Oh pardon, j'ai fait une erreur d'énoncé, exact!
Donc on a en hypothèse rg(f^2)<rg(f)
(comment avez vous tout de suite conclut que rg(f^2)>rg(f) était, j'aimerai bien savoir pourquoi f n'existe pas dans ce cas)
Pour l'exo, en effet, je n'avais pas pensé à l'écriture matricielle et au fait que deux matrices semblables ont le même rang!
On peut alors en déduire que f n'est pas diagonalisable car elle ne vérifie pas la propriété, rg(f)=rg(f^2).
Merci beaucoup pour votre aide!
Parce que tu peux justement montrer que pour tous endomorphismes f, on a rg(f)>=rg(f²). Ceci est dû à une inclusion facile à montrer : tu prends un x de Im(f²) et tu montre facilement que x appartient aussi à Im(f). On a donc que Im(f²) inclus dans Im(f). Quand tu passe à la dimension (rg(f)=dim(Im(f))), tu vois bien qu'on ne peut jamais avoir rg(f²)>rg(f)Envoyé par Gucci-style
Je pense que la matrice n'est pas diagonalisable.
Puisque rg(f)>rg(f²), on doit pouvoir en deduire comme la matrice est nilpotente.
De la on en tire que 0 est l'unique valeur propre.
Supposons donc la matrice diagonalisable.
Alors dans une base la matrice est diagonales avec les valeurs propres sur la diagonale, or comme 0 est lunique valeur propre. La matrice en question est la matrice nulle.
Mais maintenant si la matrice est nulle, alors rg(f)=0 et rg(f²)=0, ce qui contredit rg(f)> rg(f²).
La diagonalisation est un peu loin, j'ai peut etre dit des betises.
en faite peut etre que il suffit de faire:
Diagonalisons la matrice
organison la base pour regrouper les valeurs propres nulles.
les coefficient diagonaux sont (A1,A2,...Ap,0,..,0). avec A1,...,Ap non nul.
Le rg de la matrice est p.
Elevons au carre:
La matrice obtenu est diagonale est les coefficients diagonaux sont:
(A1²,A2²,...,Ap²,0,..,0). On voit donc que le rg est p.
Donc on a rg(f)=rg(f²) ce qui contredit l'hypothese
Faux. Contre-exemple :Puisque rg(f)>rg(f²), on doit pouvoir en deduire comme la matrice est nilpotente.
Le deuxième raisonnement est bon, en revanche.
~~~~~ message écrit par Garf ('me suis aperçu après de l'erreur de compte) ~~~~~
exact,
ce que javais enonce peut paraiter effectivement tres louche mais aucun contre exemple me venait en tete. C pour sa que javais chercher le 2 eme raisonnement.
Merci bien
