etude d'un endomorphisme

[Makka]

Bonjour, j'aimerais une piste pour une question à laquelle j'ai du mal à répondre:

Soit E un C-espace vectoriel et une application linéaire telle que =Id_E

Montrer que ker(-Id_E) ker(+Id_E) = { 0_E}

J'ai essayé des tas de choses mais rien de concluant, quelle est la méthode pour ce type de question?
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[Gwyddon]

Tu es sur que tu as tout essaye ?

Prend un vecteur x dans l'intersection, ecrit ce que ca signifie, et exploite ton hypothese de maniere naturelle ; ca ne devrait pas etre trop dur apres...


EDIT : en fait l'hypothese est inutile, ca marche pour toute application lineaire

Bizarre cet enonce


EDIT bis : ne marche que parce que C est de caracteristique nulle, cela ne marche pas dans un corps de caracteristique egale a 3

[Eric78]

Tu connais le lemme des noyaux?

[Makka]

Si je prends x ds l'intersection, ça signifie que (x) - x= 0 et que (x) + (x)+x=0
Mais c'est là que je bloque, je n'arrive pas trouve x=0 à partir de ça...
(je sais pas ce que c'est les "caractéristiques", on en a pas parlé en cours...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Makka]

le lemme des noyaux?
je crois pas... ou peut-être sous un autre nom...

[Eric78]

Bon oublie le lemme des noyaux (il permettait de conclure en 1 ligne ^^). Il faut remarquer que X³-1=(X-1)(X²+X+1). Essaie de travailler avec ca sur ton endomorphisme.

[Gwyddon]

Si je prends x ds l'intersection, ça signifie que (x) - x= 0 et que (x) + (x)+x=0
Mais c'est là que je bloque, je n'arrive pas trouve x=0 à partir de ça...

Que peux-tu faire avec une application lineaire ? Je ne peux pas t'en dire plus, ca reviendrait a te donner la solution, et la demarche est vraiment facile et tres classique

(je sais pas ce que c'est les "caractéristiques", on en a pas parlé en cours...)

Tu t'en fous, ca c'etait ma remarque "culturelle"

[Gwyddon]

Il faut remarquer que X³-1=(X-1)(X²+X+1). Essaie de travailler avec ca sur ton endomorphisme.

Le pire c'est que tu n'en as meme pas besoin...

[Eric78]

Lol effectivement, il suffit d'ouvrir les yeux ^^

[Makka]

Est-ce que j'ai le droit de raisonner comme ça? :

(x)-x=0 donc (x)=x
d'où en composant par
(x)=(x) d'où
(x)=(x) d'où
x=(x)

d'où (x) +(x)+x=0 implique x+x+x=0 implique x=0

[Gwyddon]

Voila, c'est gagne

Et tu rends compte au passage que tu n'avais nul part besoin de l'hypothese de depart

[Makka]

merci beaucoup à vous deux!