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Carré d'un endomorphisme symétrique.



  1. #1
    Gpadide

    Carré d'un endomorphisme symétrique.


    ------

    Bonjour, il parait qu'on a le résultat classique suivant, mais je ne sais pas le démontrer :
    Soit f un endomorphisme symétrique positif. Alors il existe g positif et symétrique tel que f=g².
    Je sais montrer des choses du meme type en passant par la diagonalisation de la matrice de f dans une base orthonormale, mais la condition qui me gene c'est "g est symétrique et positive"
    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Salut,

    Partir sur la diagonalisation est bien. Maintenant que tu as ton endorphisme diagonalisé, que peux-tu dire de ses valeurs propres ? Cela ne te permet-il pas de redécomposer ta diagonalisation en un produit de deux endorphismes diagonaux ?

    Une fois que tu as réfléchis à cela, tu pose g= ce qu'il faut.

    Puis tu vérifies sans trop de difficulté que g est bien symétrique, et g bien positive.

    Si tu veux mieux sentir la chose, commence déjà par le cas de la dimension finie en passant par des matrices
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    GuYem

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Pour mieux sentir la chose, je suggère de le faire en dimension 1 ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #4
    Gpadide

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Je dois louper une étape. J écris :

    A = PD²tr(P)=tr(D*tr(P)) * D*tr(P)

    Mais pour moi D*tr(P) n'a aucune raison d'etre symétrique si ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Non effectivement

    Mais ne vois-tu pas une astuce qui te permettrait d'avoir un endomorphisme symétrique ? Id = ...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    Gpadide

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    A=tr(P*D*tr(P))*P*D*tr(P) ?

  8. #7
    Romain-des-Bois

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Salut,

    je te donne mon raisonnement :

    A est symétrique positive
    donc il existe P inversible telle que :
    tPAP = D (D est diagonale)

    alors A = PAtP

    les éléments de D sont tous positifs (la matrice est positive).
    On peut donc écrire D = D12

    avec D1 diagonale avec pour éléments diagonaux les racines des éléments diagonaux de D

    tu as donc A = PD1D1tP

    et là tu as presque fini

  9. #8
    Gpadide

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Euh oui merci mais tout ca on l'avait deja fait (cf premiers posts). Je voudrais juste confirmation pour mon dernier post.

  10. #9
    Gwyddon

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    A=tr(P*D*tr(P))*P*D*tr(P) ?
    very very good

    Là tu as fini

    Je te suggère de retenir dans un coin de ta tête cette petite astuce, elle revient très souvent
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #10
    Romain-des-Bois

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Oui effectivement

    excuse moi, je ne comprenais pas ce que tu avais fait : j'interprétais le tr comme trace et pas comme transposée


    Romain

  12. #11
    Gwyddon

    Re : Carré d'un endomorphisme symétrique.

    Je rebondis sur la remarque de Romain, très judicieuse. Je t'invite GPadide à utiliser plutôt la notation t pour transposée, et réserver le tr pour la trace
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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