Bonjour, il parait qu'on a le résultat classique suivant, mais je ne sais pas le démontrer :
Soit f un endomorphisme symétrique positif. Alors il existe g positif et symétrique tel que f=g².
Je sais montrer des choses du meme type en passant par la diagonalisation de la matrice de f dans une base orthonormale, mais la condition qui me gene c'est "g est symétrique et positive"
Merci pour votre aide.
Salut,
Partir sur la diagonalisation est bien. Maintenant que tu as ton endorphisme diagonalisé, que peux-tu dire de ses valeurs propres ? Cela ne te permet-il pas de redécomposer ta diagonalisation en un produit de deux endorphismes diagonaux ?
Une fois que tu as réfléchis à cela, tu pose g= ce qu'il faut.
Puis tu vérifies sans trop de difficulté que g est bien symétrique, et g bien positive.
Si tu veux mieux sentir la chose, commence déjà par le cas de la dimension finie en passant par des matrices
Pour mieux sentir la chose, je suggère de le faire en dimension 1 ...
Je dois louper une étape. J écris :
A = PD²tr(P)=tr(D*tr(P)) * D*tr(P)
Mais pour moi D*tr(P) n'a aucune raison d'etre symétrique si ?
Non effectivement
Mais ne vois-tu pas une astuce qui te permettrait d'avoir un endomorphisme symétrique ? Id = ...
A=tr(P*D*tr(P))*P*D*tr(P) ?
Salut,
je te donne mon raisonnement :
A est symétrique positive
donc il existe P inversible telle que :
tPAP = D (D est diagonale)
alors A = PAtP
les éléments de D sont tous positifs (la matrice est positive).
On peut donc écrire D = D12
avec D1 diagonale avec pour éléments diagonaux les racines des éléments diagonaux de D
tu as donc A = PD1D1tP
et là tu as presque fini
Euh oui merci mais tout ca on l'avait deja fait (cf premiers posts). Je voudrais juste confirmation pour mon dernier post.
very very goodEnvoyé par Gpadide
Là tu as fini
Je te suggère de retenir dans un coin de ta tête cette petite astuce, elle revient très souvent
Oui effectivement
excuse moi, je ne comprenais pas ce que tu avais fait : j'interprétais le tr comme trace et pas comme transposée
Romain
Je rebondis sur la remarque de Romain, très judicieuse. Je t'invite GPadide à utiliser plutôt la notation t pour transposée, et réserver le tr pour la trace
