Equivalence des normes
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Equivalence des normes



  1. #1
    itslunyitsluny

    Equivalence des normes


    ------

    Bonjour .
    Svp j'ai une question concernant les normes equivalentes sur un evn.
    On sait que deux normes equivalentes definissent les memes suites convergentes,ainsi si une suite (un) converge pour N1,et N1 equivalentes à N2,alors (un) converge pour N2.
    Mais est ce qu on aura l'égalité des limites pour les deux normes?
    merci d'avance.

    -----

  2. #2
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    Une question supplémentaire:si N1 et N2 sont equivalentes et N1 vérifie une propriété (égalité,inégalité,...) peut dire que N2 vérifie les memes propriétés que N1?

  3. #3
    CM63

    Re : Equivalence des normes

    Moi je dirais que non, quand tu écris ce que c'est qu'une limite, à aucun moment tu ne dis qu'il faut prendre telle ou telle norme, ça doit juste être une norme digne de ce nom.
    Mais je parle au conditionnel, ça reste à vérifier.
    Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!

  4. #4
    CM63

    Re : Equivalence des normes

    Citation Envoyé par itslunyitsluny Voir le message
    Une question supplémentaire:si N1 et N2 sont equivalentes et N1 vérifie une propriété (égalité,inégalité,...) peut dire que N2 vérifie les memes propriétés que N1?
    Alors là non, je ne pense pas, par exemple le théorème de Pythagore n'est vérifié que par la norme L2. Effectivement, il ne faut pas confondre les deux choses.
    Dernière modification par CM63 ; 24/02/2023 à 11h45.
    Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    d'accord merci pour votre réponse.
    On attend une confirmation pour la première partie de votre réponse par la part des autres.

  7. #6
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Equivalence des normes

    Bonjour,

    Si une suite converge, alors sa limite est unique.

    Théorème 2.4 de http://cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/10...nstrations.pdf
    Dernière modification par albanxiii ; 24/02/2023 à 12h07.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  8. #7
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    la limite est unique pour la norme qu on a choisi (qu on nomme N1 par exemple),mais à priori rien ne garantit que la suite ait la meme limite pour une autre norme N2.Mais je ne sais pas ce qui se passe lorsqu on a une equivalence des normes.

  9. #8
    pm42

    Re : Equivalence des normes

    Citation Envoyé par itslunyitsluny Voir le message
    la limite est unique pour la norme qu on a choisi (qu on nomme N1 par exemple),mais à priori rien ne garantit que la suite ait la meme limite pour une autre norme N2.Mais je ne sais pas ce qui se passe lorsqu on a une equivalence des normes.
    Elles définissent la même topologie donc tu as la même unicité.

  10. #9
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    peut on la démontrer en utilisant la définition d'equivalence de normes?

  11. #10
    pm42

    Re : Equivalence des normes

    Citation Envoyé par itslunyitsluny Voir le message
    peut on la démontrer en utilisant la définition d'equivalence de normes?
    Tu as quoi comme définition ?

  12. #11
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    N1 et N2 sont equivalentes si il existe s,t >0 tel que tN1<=N2<=sN1

  13. #12
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Equivalence des normes

    Vous avez regardé le document que j'ai indiqué ?
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  14. #13
    pm42

    Re : Equivalence des normes

    Citation Envoyé par itslunyitsluny Voir le message
    N1 et N2 sont equivalentes si il existe s,t >0 tel que tN1<=N2<=sN1
    Cela permet de montrer l'unicité de la limite trivialement. Tu supposes qu'il y a 2 limites l1 et l2 différentes donc à une distance d et tu montres qu'à un moment, la suite est tout le temps à moins de d/2 de l1 pour les 2 normes et donc qu'elle ne peut pas converger vers l2.
    Il y a peut-être plus simple mais là, c'est élémentaire.

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Vous avez regardé le document que j'ai indiqué ?
    Visiblement pas mais on a l'habitude J'avoue ne pas l'avoir fait non plus, toutes mes excuses.
    Dernière modification par pm42 ; 24/02/2023 à 13h22.

  15. #14
    itslunyitsluny

    Re : Equivalence des normes

    oui albanxiii je l'ai vu mais j'ai trouvé que (Un)n admet une limite unique pour une norme donnée.
    pm42,si j'ai bien compris vous voulez utiliser la definition de la limite.
    notons l1 lalimite de un pour N1,de meme pour l2.
    Soit n un entier:
    Alors N1(l1-l2)<N1(Un-l1)+N1(Un-l2)<N1(Un-l1)+t N2(Un-l2)
    Or à partir d un certain rang m on aura simultanément pour tout epsilon positif N2(Um-l2)<eps/2t et N1(Um-l1)<eps/2
    Ainsi pour tout epsilon positif N1(l1-l2)<epsilon
    Par conséquent l1=l2.

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