Bonjour .
Svp j'ai une question concernant les normes equivalentes sur un evn.
On sait que deux normes equivalentes definissent les memes suites convergentes,ainsi si une suite (un) converge pour N1,et N1 equivalentes à N2,alors (un) converge pour N2.
Mais est ce qu on aura l'égalité des limites pour les deux normes?
merci d'avance.
Une question supplémentaire:si N1 et N2 sont equivalentes et N1 vérifie une propriété (égalité,inégalité,...) peut dire que N2 vérifie les memes propriétés que N1?
Moi je dirais que non, quand tu écris ce que c'est qu'une limite, à aucun moment tu ne dis qu'il faut prendre telle ou telle norme, ça doit juste être une norme digne de ce nom.
Mais je parle au conditionnel, ça reste à vérifier.
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Alors là non, je ne pense pas, par exemple le théorème de Pythagore n'est vérifié que par la norme L2. Effectivement, il ne faut pas confondre les deux choses.Envoyé par itslunyitsluny
Dernière modification par CM63 ; 24/02/2023 à 10h45.
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
d'accord merci pour votre réponse.
On attend une confirmation pour la première partie de votre réponse par la part des autres.
Bonjour,
Si une suite converge, alors sa limite est unique.
Théorème 2.4 de http://cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/10...nstrations.pdf
Dernière modification par albanxiii ; 24/02/2023 à 11h07.
Not only is it not right, it's not even wrong!
la limite est unique pour la norme qu on a choisi (qu on nomme N1 par exemple),mais à priori rien ne garantit que la suite ait la meme limite pour une autre norme N2.Mais je ne sais pas ce qui se passe lorsqu on a une equivalence des normes.
Elles définissent la même topologie donc tu as la même unicité.
peut on la démontrer en utilisant la définition d'equivalence de normes?
Tu as quoi comme définition ?
N1 et N2 sont equivalentes si il existe s,t >0 tel que tN1<=N2<=sN1
Vous avez regardé le document que j'ai indiqué ?
Not only is it not right, it's not even wrong!
Cela permet de montrer l'unicité de la limite trivialement. Tu supposes qu'il y a 2 limites l1 et l2 différentes donc à une distance d et tu montres qu'à un moment, la suite est tout le temps à moins de d/2 de l1 pour les 2 normes et donc qu'elle ne peut pas converger vers l2.
Il y a peut-être plus simple mais là, c'est élémentaire.
Visiblement pas mais on a l'habitudeJ'avoue ne pas l'avoir fait non plus, toutes mes excuses.
Dernière modification par pm42 ; 24/02/2023 à 12h22.
oui albanxiii je l'ai vu mais j'ai trouvé que (Un)n admet une limite unique pour une norme donnée.
pm42,si j'ai bien compris vous voulez utiliser la definition de la limite.
notons l1 lalimite de un pour N1,de meme pour l2.
Soit n un entier:
Alors N1(l1-l2)<N1(Un-l1)+N1(Un-l2)<N1(Un-l1)+t N2(Un-l2)
Or à partir d un certain rang m on aura simultanément pour tout epsilon positif N2(Um-l2)<eps/2t et N1(Um-l1)<eps/2
Ainsi pour tout epsilon positif N1(l1-l2)<epsilon
Par conséquent l1=l2.
