Calcul différentiel équivalence de 2 normes

[invite0f9d91dd]

Bonjour

Je dois prouver l'équivalence de deux normes dans l'espace vectoriel des réels de dimension 2. Pour un vecteur v=(x,y) dans R^2, on pose
N(v)=sup(abs(x+ty)) avec t apparteient [0,1]

On a préalablement prouvé que N(v)=max{abs(x), abs(x+y) pour v=(x,y)

Je dois prouver que cette norme est équivalente à la norme 1 (la norme notée avec deux barres de chaque côté du vecteur et un 1 en indice à droite qui est égale à valeur absolue de x + valeur absolue de y).

Je me suis dit que j'allais le montrer grâce à l'inégalité : c1N'(v) < (ou égal) N(v) < (ou égal) c2N'(v)
J'ai réussi à prouver que la norme 1 était supérieure à N(v) grâce à l'inégalité triangulaire mais je suis bloquée pour la seconde partie de l'inégalité.

De plus, nous devons dire si N(v) est équivalent avec la norme 2 et la norme infini.

Merci d'avance et bon week-end
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[gg0]

Bonjour.

Tu veux comparer, pour des nombres positifs a et b, max(a, b) et a+b. il est évident que max(a,b) <= a+b; dans l'autre sens, a+b=max(a,b)+min(a,b) <= ...

Cordialement.

[invite0f9d91dd]

Merci de votre réponse
Je n'ai pas bien compris.
Je compare max{abs(x),abs(x+y)} où x et y peuvent être positifs ou négatifs avec abs(x) + abs(y)
Cordialement

[gg0]

Après relecture,

c'est un peu plus compliqué. J'aurais dû écrire avant de répondre.
Je suis tenté de séparer les cas "a et b de même signe" (|a+b|=|a|+|b|) et "a et b de signes contraires".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f9d91dd]

j'ai essayé de le faire mais j'ai toujours le même problème, je ne vois pas comment majorer.
Cordialement,

[invite0f9d91dd]

Finalement, j'ai rééssayé quelque chose :
J'ai séparé 3 cas :
- Le cas où x et y de même signe :
Max {abs(x),Abs (x+y)} = abs(x) + abs (y)
Donc C2 = 1
- Le cas où x et y de signes différent et abs(x) >= abs(x+y) : On a donc abs(y) <= abs (2x)
abs(x) + abs (y) <= 3 abs(x)
Donc C2 = 3
- Le cas où x et y de signes différent et abs(x) < abs(x+y) : On a donc abs(y) > abs(2x)
Max {abs(x),Abs (x+y)} = abs(x+y)
Je ne vois pas comment trouver C2 tel que :
abs(x) + abs(y) <= C2 abs(x+y)

[invite23cdddab]

Sans faire de cas :



Et



Au final,

[gg0]

En posant éventuellement x=-x' et y=-y', on voit qu'on peut se ramener au cas y>0 et x<0; je reprends x=-x'.
|x|+|y| = x'+y
Comme x'<y/2, x'+y<3y/2 ; or |x+y| = y-x'>3y/2.
On obtient encore la valeur 3.

Vérifie, j'ai représenté sur un axe les différentes valeurs ...

Cordialement.