valeur absolue

[lama001]

Bonjour,
Si vous pourriez m'aider svp pour cette question
voici l'énoncé :
soit f une fonction définie sur R et qui satisfait cette condition : abs(f(x)-f(y))=abs(x-y)
si f(0)=0 ; montrer que f(xy)=xy

voila comment j'ai procédé
on sait que x=0=>abs(f(y))=abs(y)=>f²(y)=y ²
d'un coté on a : abs(f(xy)-f(y))=abs(xy-y)=>[f(xy)-f(y)]²=(xy-y)²=>f²(xy)-2f(xy)f(y)=(xy)²-2xy²
=>f(xy)[f(xy)-2f(y)]=xy(xy-2y) ........(1)
d'un autre coté on déduit que : abs(f(xy)-f(x))=abs(xy-x)=>f(xy)[f(xy)-2f(x)]=xy(xy-2x) ........(2)
(1)-(2)<=>f(xy)[2f(x)-2f(y)]=xy(2x-2y)<=>f(xy)[f(x)-f(y)]=xy(x-y)
=>abs(f(xy))abs(f(x)-f(y))=abs(xy)abs(x-y)=>abs(f(xy))=abs(xy)
=>soit f(xy)=xy ou soit f(xy)=-xy (et ce n'est pas la réponse voulu)
d'où ma question : est ce j'ai fais une erreur quelque part? ou peut etre je dois utiliser autre manière? ou simplement y a erreur peut etre dans l'énoncé ?
MERCI D'AVANCE
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[gg0]

Bonjour.

Non, je ne vois pas d'erreur; d'ailleurs la fonction f: x-->-x vérifie la condition de l'énoncé et aussi f(0)=0, mais pas f(xy)=xy.
Il manque cependant à ta preuve un peu de rigueur : Quels sont les statuts de x et y ? Et quand tu simplifie par abs(f(x)-f(y))=abs(x-y) il est impératif que x et y soient distincts.

Cordialement.

[lama001]

merci gg0, bon oui x doit être diffèrents de 0 merci de me le rappeler mais quant au statut de x et y? 2 réels différents et c'est tout non?

[lama001]

je voulais dire x et y doivent être différents

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pas nécessairement à chaque étape. mais au moment de la simplification, oui. Donc il faut envisager le cas de f(x²).

[lama001]

mais y a pas f(x²), vous voulez dire f²(x) ? si c'est ça je ne vois pas quelle condition faut donner pour envisager ce cas

[gg0]

Là tu es vraiment à côté de la plaque !!

Tu ne t'es jamais aperçu que si y= x alors xy=x² ?
"y a pas f(x²)" !!!

Et ta notation f²(x) est dangereuse (ça désigne souvent f(f(x)) !), la notation claire est f(x)².

[lama001]

franchement je n'y ai pas pensé, mais ça veut dire que f doit etre positive? c'est nécessaire de mettre cela?
et puis svp autre question hors maths, je veux insérer une image de mon pc pour poster une nouvelle question mais à chaque fois que je clique y a rien après je ne vois rien si je veux visualiser pourtant mon image existe et j'ai essayé avec png et jpg et en vain

[gg0]

Pourquoi voudrais-tu que f soit positive ?? N'importe quel nombre peut être mis au carré, même les négatifs.

Pour les images, va en mode avancé (ou utilise "répondre") et utilise "pièces jointes".

[lama001]

ok donc finalement y a pas d'autre condition pour x, y qu'ils ne soient pas égaux et puis c'est tout.
merci pour le truc de l'image je vais le faire

[lama001]

est ce cette conjecture vraie ?

[lama001]

Est ce que cette conjecture est vraie ?

### les images doivent êtres insérées comme pièces jointes, pas d'exception ###
### voir https://forums.futura-sciences.com/m...s-jointes.html ###

DSL je n'ai pas pu afficher directement l'image

[gg0]

ok donc finalement y a pas d'autre condition pour x, y qu'ils ne soient pas égaux et puis c'est tout.
merci pour le truc de l'image je vais le faire

Tu es toujours à côté du problème. Il n'y a pasqde condition sur x et y, tu dois donc vérifier que pour tout couple (x,y) de réels f(xy)=xy ou pour tout couple (x,y) de réels f(xy)=-xy.

Pour l'instant, ce que tu a écrit au message #1 est incorrect (là où je te l'ai signalé).

[gg0]

Même chose pour les images : Tant que tu ne fais pas correctement (voir message #9), l'image ne s'affichera pas.

[gg0]

En complément à mon message #13, je reprends la démonstration là où elle pêche (en dehors de la rédaction); en rédigeant correctement, on arrive à :
Pour tout couple (x,y) de réels, f(xy)[f(x)-f(y)]=xy(x-y) donc
Pour tout couple (x,y) de réels, abs(f(xy))abs(f(x)-f(y))=abs(xy)abs(x-y)

Si , on peut simplifier et on obtient : abs(f(xy)) = abs(xy), soit encore
Reste ici à justifier que c'est toujours le même signe, soit + dans ntous les cas, soit -.
Si x=y, cette égalité est simplement 0=0 (ici, la preuve à faire que si x=y, f(xy)= xy, ou bien f(xy)=-xy).

Je te laisse le soin de trouver comment faire ces deux preuves, ce qui peut se faire en cherchant simplement f(x) à partir du début, le f(xy)=xy étant une sorte de supercherie pour faire chercher des choses compliquées alors que le bon résultat est simple.

Cordialement.

NB : J'ai bien sûr supposé que l'énoncé était " Pour tout couple (x,y) de réels, abs(f(x)-f(y))=abs(x-y)". A moins que l'énoncé parle de x et de y particuliers, comme il est faux, on peut s'attendre à tout !!

[lama001]

merci merci gg0 pour vos précieux correctifs , oui j'avais compris que pour x=y c'est évident rien qu'en remplaçant dans l'énoncé , ouiiii c dans l'ensembles des réels . ok c parfait et j'ai bien compris . maintenant j'ai une autre question si vous permettez, bon je laisse l'image poour une autre fois.
Donc f fonction définie sur D_f=I union J ; tel que I et J deux intervalles non concourants et que f est croissante sur I et J.
Quelles hypothèse supplémentaire peut-on ajouter sur la fonction f pour qu'elle soit croissante sur D_f
A mon avis f doit etre bornées des 2 cotés mais je sais que c insuffisant même si elle est croissante sur I et J, je ne sais pas ce qui manque, f(J)>=f(I) et f borné ? que pensez vous ?

[gg0]

Bonjour.

La notion de croissance n'a de sens que sur des intervalles (non vides, non réduits à un point, dans ces deux cas c'est une évidence, mais ça n'apprend rien). Donc on ne peut pas dire que f est croissante sur D_f.
Par contre, on peut se poser la question : Que faut-il connaître de plus pour pouvoir dire, quelq que soient les nombres x et y de D_f : si x<y alors f(x)<=f(y). En fait, ça dépend fortement des situations. En tout cas, f est alors majorée sur I (par tous les f(y) où y est dans J, et minorée sur I. On voit que alors f(I) a une borne sup i et f(J) a une borne inf j et i<=j. Ces conditions permettent d'assurer la propriété.

Attention à ce que tu écris : "f(J)>=f(I)" est absurde, f(I) et f(J) ne sont pas des nombres, mais des ensembles.

Cordialement.

[lama001]

Oui merci pour la correction et pour la réponse
peut etre que d'un point de vue analytique cette question n'a pas vraiment d'intérêt car c bidon de faire un tas de calcul (maj pour I min J ect ect) rien que pour savoir ce truc alors qu'on connait la monotonie de f sur ses 2 intervalles (et ça doit etre suffisante concernent une etude de monotonie) et aussi et surtout on peut verifier tt cela rien qu'avec un petit coup d'oeil sur son tableau de variation.
Mais et y a tjrs un mais, est-ce mathématiquement est tolérable de dire que f est croissante sur ses 2 intervalles alors qu'en vérité elle l'est sur l'union de ces intervalles (si c le cas bien sur) ? Vous voyez ce que je veux dire? Je ne sais même pas si on peut tomber sur un example d'application. CORDIALEMENT

[gg0]

L'idée de la croissance est que si a<b, alors pour tout c entre a et b on a f(a)<=f(c)<=f(b) et même si d est entre c et b on a f(c)<=f(d) ( la courbe "monte"). On le traduit par une définition raccourcie, mais tenant compte du fait que le f(c) doit être défini, il faut que f soit définie sur [a,b], d'où la restriction à un intervalle du domaine de définition.

Le peu d'intérêt de comparer entre deux intervalles disjoints fait qu'on n'a pas construit une notion de croissance plus étendue.

Cordialement.

[lama001]

C'est ce qu'on appel une vraie explication géniale , je ne saurai vous remercier assez cher gg0, je peux encore solliciter votre aide ? je sais que j'ai abusé

[gg0]

A priori,

si tu poses une question, moi ou d'autres te répondront ...

Je reviens sur la notion de croissance. Elle se généralise de façon très différente. Par exemple dans la notion de suite croissante de parties d'un ensemble et dans le cas de fonctions d'un ensemble ordonné dans un autre.

Cordialement.

[lama001]

d'accord merci.
j'ai une question à propos des points d'inflexion, je sais que y a toujours une discussion et débat sur ce point je voudrai savoir si y a un exemple d'une fonction dont le graphe coupe une tangente en un point sans que ce dernier soit un point d'inflexion. autrement dit ceux qui préfèrent la définition analytique de ce point et disent que rigoureusement c'est clair et vraie par rapport à la définition géométrique (pour eux c'est une caractéristique géométrique mais pas une définition ) est ce qu'ils ne peuvent pas avoir un contre exemple et convaincre ainsi une fois pour toute tout le monde que le débat est clos ?

[gg0]

OK.

En fait, ta "définition géométrique" pose un problème parce qu'elle est difficilement manipulable. Les mathématiciens (à l'époque toujours géomètres, c'est la géométrie qui était considérée comme rigoureuse), les mathématiciens jusqu'au dix-septième siècle ont eu d'énormes problèmes avec la notion de tangente à une courbe, trouver les propriétés des tangentes à une hyperbole était compliqué. Puis on a inventé les dérivées, et la question s'est simplifiée tellement fortement que maintenant on définit les tangentes avec la dérivée (et on justifie ainsi les propriétés géométriques). C'est la même chose pour les points d'inflexion.
Après, la notion de courbe est tellement vaste qu'il existe peut-être une façon de définir pour qu'on ait le contre-exemple dont tu parles; moi je n'en connais pas.

[lama001]

Merci ggo
Vos réponses et informations me sont précieuses. Je reviendrais dès que j'aurai un problème 👏😉