Loi de pascal

[chloe4559]

Bonjour,

J’ai un petit exercice sympathique sur la loi de pascal mais j’ai un peu du mal à arriver au résultat final…

On nous donne X=Y₁+…+Y_r une somme de r variables aléatoires indépendantes de loi géométriques de paramètre 0<p<1.

On nous demande de montrer que P(X=k)=C_k-1^r-1p^r(1-p)^k-r

J’ai voulu établir une récurrence, mais je ne sais pas si c’était la bonne solution. D’après mon prof en TD je partais bien mais j’arrive pas à conclure.

Je suis partie du principe que la formule était vraie au rang n et dans l’hérédité jai voulu montrer qu’elle l’était aussi au rang n+1 en considérant que
P(X=k)=P((Y₁+…+Y_n) + Y_n+1)

Ainsi, en posant X=k-l et Y_n+1=l et en faisant la
Somme sur l du produit de ces deux probabilités je pensais m’en sortir mais au final non…

Quelqu’un pourrait t-il m’éclairer un peu svp ?

Ps: je crois qu’il est possible de montrer ça à l’aide de la fonction génératrice mais les questions d’après nous demande justement de calculer la fonction génératrice donc je nai pas évoqué cette piste
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[MissJenny]

A mon avis il n'y a pas besoin de raisonner par récurrence. Tu dois juste calculer la probabilité d'une suite de k succès/échecs telle que le dernier résultat soit un succès et qu'il y ait auparavant r-1 succès et k-r échecs.

[GBZM]

Bonjour,
Tu n'étais effectivement pas mal parti dans ta récurrence sur . Pour la clarté, il vaut mieux poser pour entier >0, et donc s'intéresser pour l'hérédité à . On a donc .
Il te reste à montrer que , ce qui se fait facilement par récurrence sur .

[GBZM]

Pardon, .

[A voir en vidéo sur Futura]