Anneaux et morphisme

[joq35]

Bonjour,

Je travaille sur un exo qui cherche à déterminer s'il existe beaucoup d'anneaux dont le groupe sous-jacent est Z/2Z * Z/3Z.

a) Montrer qu'un élément d'ordre 2 pour l'addition s'envoie sur un élément d'ordre 2 par un morphisme d'anneaux.
b) Trouver les éléments d'ordre 2
c) Trouver les éléments d'ordre 3
d) Montrer qu'un morphisme d'anneaux est déterminé par sa valeur sur les générateurs du groupe sous-jacent

Pour la question a), soit f le morphisme et x un élément d'ordre 2, tel que x^2 = 1.
Donc (f(x))^2 = f(x) + f(x) = f(x+x) = 1

Pour les questions b et c), pas de difficutés.

Pour la question d, je suis un peu perdu.
Pouvez-vous m'aider un petit peu .... à vrai dire, je ne sais pas comment commençer.

Merci à vous
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[GBZM]

Bonjour,
Tu fais un joyeux mélange entre addition et multiplication :
"Pour la question a), soit f le morphisme et x un élément d'ordre 2, tel que x^2 = 1.
Donc (f(x))^2 = f(x) + f(x) = f(x+x) = 1"
Ça ne va pas du tout.
Le "groupe sous-jacent" est le groupe additif, n'est-ce pas ?

[joq35]

Oui effectivement, j'ai répondu un peu vite, comme ça c'est mieux.

Pour la question a), soit f le morphisme et x un élément d'ordre 2, tel que 2x = 1.
Donc (f(x))*2 = f(x) + f(x) = f(x+x) = f(2x)=f(1)=1.

Merci

[GBZM]

Ça ne va toujours pas. 1 n'est pas l'élément neutre du groupe additif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[joq35]

Décidemment, je vais trop vite.
Je reprend :

Pour la question a), soit f le morphisme et x un élément d'ordre 2, donc x + x = 0
Donc f(x) + f(x) = f(x+x) = f(0) = 0