Aua = a

**fjeks** · 07/05/2023, 22h37

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide sur un exo de matrices. Une indication ne serait pas de refus.

Soit $\text{[math]}$ , montrer qu'il existe $\text{[math]}$ tq $\text{[math]}$ .

Merci d'avance!

**GBZM** · 08/05/2023, 09h36

Bonjour,
Je te conseille de penser en termes d'endomorphismes.
Tu as un endomorphisme $\text{[math]}$ d'un espace vectoriel de dimension finie $\text{[math]}$ . Tu cherches un automorphisme $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Tu peux jouer avec l'image et le noyau de $\text{[math]}$ , en complétant des bases de ces sous-espaces.

**fjeks** · 09/05/2023, 20h31

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Je pense être arrivé à une solution.

On considère S un supplémentaire de ker(f) dans E et on note r = rg(f). On pose u l'application linéaire de S dans Im(f) tq u(s) = f(s). Alors u est inversible. Si $\text{[math]}$ est une base de S et $\text{[math]}$ une base de ker(f) alors $\text{[math]}$ est une base de E. On se rend rapidement compte qu'alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ coincident sur $\text{[math]}$ .
D'où le résultat.

**GBZM** · 10/05/2023, 09h11

Tu entrevois une solution, mais ce que tu écris ne va pas : ton $\text{[math]}$ n'est pas un automorphisme de $\text{[math]}$ .
Tu peux décrire un bon automorphisme $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ en envoyant une base bien choisie de $\text{[math]}$ sur une base bien choisie de $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fjeks** · 10/05/2023, 19h40

Je vois. On considère toujours la même base $\text{[math]}$ . Puisque f réalise un isomorphisme de S dans Im(f), $\text{[math]}$ est une base de Im(f). On la complète en une base $\text{[math]}$ de E. On définit alors u tq $\text{[math]}$ . Cette fois $\text{[math]}$ et u envoie une base sur une base donc est inversible. On a toujours que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ coïncident sur E d'où le résultat.

Aua = a

Aua = a

Re : Aua = a

Re : Aua = a

Re : Aua = a

Re : Aua = a