(-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

**Abdellah7** · 11/06/2023, 06h54

bonjour
la suite 1,-1,1,-1,1,-1...... s'écrit (-1)^n
ma question comment ecrire la suite 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1....... ?

**Médiat** · 11/06/2023, 08h08

Bonjour,
$\text{[math]}$

**MissJenny** · 11/06/2023, 08h23

il y a sans-doute plus simple mais cette expression a l'air de convenir : (-1)^{(n+2)/2 + ((n+2)%%2)/2} où n%%2 est le résidu modulo 2 de n

**Abdellah7** · 11/06/2023, 09h16

#3 mediat
pour n=1 c'est la racine carré de -1 , comment ? c'est i

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 11/06/2023, 09h22

Il n'y a pas de racine dans ma réponse précédente, juste la fonction "partie entière"

On peut aussi faire : $\text{[math]}$

**Abdellah7** · 11/06/2023, 09h40

Ah bon j'ai mal vu la partie entière j'ai cru que c'était juste une puissance .
C'est bon Merci beaucoup

**GBZM** · 11/06/2023, 21h37

Bonsoir,

$\text{[math]}$ va bien.

**stefjm** · 12/06/2023, 11h45

Bonjour,

Envoyé par Médiat

$\text{[math]}$

Joli.
Et cela permet aussi d'avoir
$\text{[math]}$

Envoyé par Médiat

On peut aussi faire : $\text{[math]}$

Je me demandais d'où venait l'idée...
$\text{[math]}$

Envoyé par GBZM

$\text{[math]}$ va bien.

Joli aussi!
avec un $\text{[math]}$ dont la partie réelle colle bien pour n entier
avec $\text{[math]}$

et aussi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Avec pas mal d'informations dans l'OEIS : https://oeis.org/A057077

**GBZM** · 12/06/2023, 14h39

Pourquoi "partie entière de n(n-1)/2" ????

**stefjm** · 12/06/2023, 16h48

Pas d'intérêt si on reste avec n entier bien sûr.

Un peu d'intérêt parce que Médiat m'a donné l'idée en proposant une solution avec partie entière et beaucoup d'intérêt parce que votre expression est la partie réelle pour n entier de la fonction complexe de la variable réelle n.

$\text{[math]}$
https://www.wolframalpha.com/input?i...8n-1%29%2F2%29

L'ajout de la partie entière rend votre expression purement réelle, ce que j'ai trouvé sympa.

$\text{[math]}$
https://www.wolframalpha.com/input?i...1%29%2F2%29%29

car $\text{[math]}$ est égal à 0, contrairement à $\text{[math]}$

Je trouve intéressant ce lien entre partie entière et partie imaginaire nulle, ainsi que le lien entre partie fractionnaire (modulo 1) et complexe d'argument modulo 2pi.

**gg0** · 12/06/2023, 17h17

Bonjour Stefjm.

Si n est un entier, l'un des deux entiers successifs n-1 et n est pair, donc $\text{[math]}$ est un entier. Lui rajouter la fonction "partie entière" ne change pas sa valeur. Donc "L'ajout de la partie entière rend votre expression purement réelle" est assez bizarre !! Voici la suites des valeurs de $\text{[math]}$ pour n variant de -10 à 10 :
55, 45, 36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45

Cordialement.

**gg0** · 12/06/2023, 17h22

J'ai l'impression que tu t'es fait avoir par le calcul formel, pour Wolfram, n n'est pas un entier, à priori c'est un réel, voire même un complexe !
Au lieu de regarder ce que ça donne à la main, en utilisant ton intelligence, tu as sous-traité la question à un logiciel dont tu ne sais pas ce qu'il fait. Comme ta question est mal posée, tu obtiens un résultat fantaisiste ...

Cordialement.

**stefjm** · 12/06/2023, 17h57

Envoyé par gg0

Si n est un entier, l'un des deux entiers successifs n-1 et n est pair, donc $\text{[math]}$ est un entier. Lui rajouter la fonction "partie entière" ne change pas sa valeur. Donc "L'ajout de la partie entière rend votre expression purement réelle" est assez bizarre !! Voici la suites des valeurs de $\text{[math]}$ pour n variant de -10 à 10 :
55, 45, 36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45

Oui, bien sûr. C'est ce que j'ai résumé par mon "Pas d'intérêt [pour la partie entière] si on reste avec n entier bien sûr."

Envoyé par gg0

J'ai l'impression que tu t'es fait avoir par le calcul formel, pour Wolfram, n n'est pas un entier, à priori c'est un réel, voire même un complexe !
Au lieu de regarder ce que ça donne à la main, en utilisant ton intelligence, tu as sous-traité la question à un logiciel dont tu ne sais pas ce qu'il fait. Comme ta question est mal posée, tu obtiens un résultat fantaisiste ...

Le résultat obtenu n'est pas si fantaisiste que cela et j'ai utilisé Alpha pour illustrer (Je suis un peu feignant aussi).

J'ai regardé ce qui se passe quand on plonge le problème initial dans les complexes.
J'ai tout de suite eu envie d'écrire le $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ , même si j'ai "oublié" le +2.k.pi de l'argument (et franchement, le i n'est pas très loin quand on oublie la partie entière...).

Le fait de considérer -1 comme un complexe doit être une déformation professionnelle de ma part.

Après, c'est peut-être un hasard, cette annulation de partie imaginaire?

Cordialement

Edit : et je n'ai sans doute pas rédiger ma réponse selon les règles de l'art.

**gg0** · 12/06/2023, 18h21

Heu ... si n n'est pas un entier, il n'y a pas de "bonne définition" de $\text{[math]}$ . Wofram en choisit une en considérant que $\text{[math]}$ , il a été programmé pour cela. Et il emploie un calcul formel sur les puissances qui applique les règles "classiques", dont on sait qu'elles sont contradictoires (voir tous les sujets sur $\text{[math]}$ , entre autre). Wolfram ne fait pas des maths.

En tout cas, Tu es parti loin de la question initiale, parfaitement délimitée.

**gg0** · 12/06/2023, 18h26

Je suis surpris par "considérer -1 comme un complexe doit être une déformation professionnelle ", car -1 est plein de choses (entier relatif, rationnel, réel complexe, quaternion, ..), et il est courant de ne pas considérer que c'est un complexe, par exemple dans la détermination principale du logarithme népérien.

Cordialement.

**stefjm** · 12/06/2023, 19h26

Envoyé par gg0

Heu ... si n n'est pas un entier, il n'y a pas de "bonne définition" de $\text{[math]}$ . Wofram en choisit une en considérant que $\text{[math]}$ , il a été programmé pour cela. Et il emploie un calcul formel sur les puissances qui applique les règles "classiques", dont on sait qu'elles sont contradictoires (voir tous les sujets sur $\text{[math]}$ , entre autre). Wolfram ne fait pas des maths.

Je sais mais tout cela ne tombe quand même pas bien comme il faut comme par hasard. Si?

La définition utilisé par Alpha :
(-1)^x=cos(pi*x)+i.sin(pi*x)

Envoyé par gg0

En tout cas, Tu es parti loin de la question initiale, parfaitement délimitée.

C'est vrai que je suis parti loin, mais le posteur initial a vu du "i" là où Médiat n'en avait pas mis et la proposition de GBZM était tentante aussi.

Envoyé par gg0

Je suis surpris par "considérer -1 comme un complexe doit être une déformation professionnelle ", car -1 est plein de choses (entier relatif, rationnel, réel complexe, quaternion, ..), et il est courant de ne pas considérer que c'est un complexe, par exemple dans la détermination principale du logarithme népérien.

Je ne suis pas mathématiciens, mais j'utilise beaucoup les complexes, en particulier en physique, électronique, commande de procédé (stabilité par rapport au point -1 dans le plan complexe) , etc...
Je trouve que les propriété de (-1) commencent à devenir sympathiques qu'à partir des complexes.

Je suis conscient que cela peut être casse-gueule, mais je ne suis jamais trop tomber sur des cas pathologiques.

Cordialement

**GBZM** · 12/06/2023, 22h51

Je trouve tout ça un peu farfelu.
Tout simplement, n(n-1)/2 est un entier pair pour n congru à 0 ou 1 modulo 4 et impair pour n congru à 2 ou 3.

**MissJenny** · 13/06/2023, 08h40

est-ce qu'on peut engendrer n'importe quelle suite périodique de 1 et -1 avec une formule du type (-1)^P(n) où P est un polynôme ?

**GBZM** · 13/06/2023, 15h26

Intéressante question. Ça revient à se demander si n'importe quelle fonction périodique de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ peut s'écrire sous la forme $\text{[math]}$ pour une partie finie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . Je ne pense pas.

**stefjm** · 13/06/2023, 15h44

Envoyé par GBZM

Je trouve tout ça un peu farfelu.

C'est mon coté un peu loufoque et foutraque.
Ce n'est jamais qu'un plongement des entiers dans les réels, puis les complexes.

Envoyé par GBZM

Tout simplement, n(n-1)/2 est un entier pair pour n congru à 0 ou 1 modulo 4 et impair pour n congru à 2 ou 3.

Oui. On obtient la séquence [0,0,1,3]

J'avais aussi noté que
$\text{[math]}$

https://www.wolframalpha.com/input?i...C+%28-1%29%5Ek

(-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

(-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1

Re : (-1)^n et 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1