Diagonaliser le produit de deux projecteurs orthogonaux

[itslunyitsluny]

Bonjour,
Svp je suis en train de traiter l'exo suivant:
Soit E un espace euclidien et p ,q deux projecteurs orthogonaux.Montrer que pq est diagonalisable.
Alors l'idée est d'écrire la matrice de q dans une base de diagonalisation ,puis d'écrire dans la meme base la matrice de p.
Cette derniere matrice sera ecrite sous forme de 4 blocs.Puis on fera le produit des deux matrices pour donner la matrice de pq dans la base de diagonalisation de q. (Voir l'image ci-dessous).Comme A1 est diagonalisable (car symetrique),il faut donc montrer que A2=0 . Je ne comprend pas pq on cherche à demontrer que rg(AB)=rg(A1)?et pourquoi ceci est equivalent à (A1X=0 ==> A2X=0) ?

Merci.

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[GBZM]

Bonjour,

"il faut donc montrer que A2=0 . "
Non, il ne faut pas. Il n'y a aucune raison que soit nulle.

"Je ne comprend pas pq on cherche à demontrer que rg(AB)=rg(A1)?"
On cherche à démontrer que la multiplicité de 0 comme valeur propre de est égale à la dimension du sous-espace propre pour associé à la valeur propre 0. Cette dimension est moins le rang de . La multiplicité de 0 comme valeur propre de est n moins le rang de .

"et pourquoi ceci est equivalent à (A1X=0 ==> A2X=0) ?"
Le noyau de est contenu dans le noyau de . Comme cette dernière matrice a même rang que , on cherche à montrer que les deux noyaux sont égaux.

En passant, as-tu compris pourquoi la dimension du sous-espace propre de associé à une valeur propre non nulle est égale à la multiplicité de cette valeur propre ?

[itslunyitsluny]

Bonjour,

as-tu compris pourquoi la dimension du sous-espace propre de associé à une valeur propre non nulle est égale à la multiplicité de cette valeur propre ?

Non.Apparemment il va falloir faire le lien avec A1 qui est diagonalisable et dont la multiplicité des valeurs propres égale à la dimension des sous espaces propres associés.Mais il sera mieux d'éclaircir la démo pour moi.( J'essaie en mm temps de trouver une demo)

Le noyau de est contenu dans le noyau de . Comme cette dernière matrice a même rang que , on cherche à montrer que les deux noyaux sont égaux.

Ca je ne le comprend non plus.pq Ker(AB) est inclus dans Ker((A1 0 0 0 )) ?
Sinon merci pour la réponse

[GBZM]

pq Ker(AB) est inclus dans Ker((A1 0 0 0 )) ?

Vrai ? Tu ne vois pas pourquoi entraîne

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

Je m'excuse j'ai tenté de faire l autre implication ...
Et pour les valeurs propres non nulles de AB ?

[GBZM]

Si est une valeur propre non nulle de , intéresse-toi au rang de .

[itslunyitsluny]

Je ne vois pas une égalité,mais je peux dire que le rang de cette matrice est superieur ou égale à n-r,avec r la taille de A1.

[GBZM]

Réfléchis mieux ! Et si ça peut t'aider, prend diagonale, on ne perd pas en généralité.

[itslunyitsluny]

rg(AB- lambda In)=rg(A1- lambda In)+n-r

[GBZM]

n'a pas de sens. N'écris pas des choses au hasard, s'il te plait.

[itslunyitsluny]

Je ne peux pas donner une réponse,mais j'explique comment je procède.
Pour les n-r dernières colonnes,elles sont libres.
En prenant A1 diagonale,il y aura des colonnes nulles mais le A2 en bas me pose un problème car on peut trouver une colonne formée par ( A1- lambda Ir et A2 ) qui soit une combinaison linéaire des (n-r) colonnes contenant -lambda.

[itslunyitsluny]

n'a pas de sens

Je voudrais dire A1-lambda Ir,mais en tout cas je ne crois pas que c'est correct.

[itslunyitsluny]

En notant m la multiplicité de lambda comme valeur propre de A1,il vient que rg(AB- lambda In)=n-m
En fait m représente meme la multiplcité de lambda comme valeur propre de AB car :
P_AB=X^n-r P_A1 , P_A1 étant le polynôme caractéristique de A.
Donc par le théorème du rang : m=dim(E_lambda(AB))

[GBZM]

Je te laisse mettre tout ça en ordre.

[itslunyitsluny]

On cherche à montrer que pq est diagonalisable.Pour cela ,on va montrer que le polynome carctéristique de AB est scindé et la dimension des sous espaces propres de AB est égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante.
Pour commencer,on voit que : P_AB=P_A1 X^n-r ,donc il est scindé car A1 diagonalisable.
Les valeurs propres de AB sont celles de A1 plus 0.Prenons λ valeur propre non nulle de AB,montrons que sa multiplicité est égale à dim(Ker(AB-λIn)).
On a dim(Ker(AB-λIn))=n-dim(Im(AB-λIn)).Or rg(AB-λIn).=n-m , m étant la multiplicité de λ comme valeur propre de A1.Or m représente aussi la multiplcité de λ comme valeur propre de AB.Donc dim(Ker(AB-λIn))=m .C'est ce qu'on cherche.Il reste à appliquer la meme chose à 0.
dim(Ker(AB))=n-dim(Im(AB)), et rg(AB)=rg((A1 0 0 0)) (C'est la matrice que tu as écrit),prouvons ceci:
On va montrer que Ker(AB)=Ker(A1 0 0 0) .On a Ker(AB) INCLUS dans Ker(A1 0 0 0),pour la réciproque,voir l'image que j'ai envoyé au début de la conversation.
Il vient donc que Ker(AB)=Ker(A1 0 0 0) et donc rg(AB)=rg((A1 0 0 0))=rg(A1)=r-dim(Ker(A1))
Finalement dim(Ker(AB))=n-r+dim(Ker(A1)),remarquons que n-r+dim(Ker(A1)) est exactement la multiplicité de 0 comme valeur propre de AB (voir l'expression du polynome caractéristique).Donc on obtient le résultat voulu.
(merci de me confirmer si c'est juste ou pas)