Bonjour,
Quels interprétations géométriques peut-on donner à deux polynômes orthogonaux ?
(par exemple si on parle de 2 vecteurs orthogonaux alors on peut dire que leur représentation géométrique est symbolisée par deux segments perpendiculaires)
Ici, la courbe résultant du produit des fonctions des polynômes orthogonaux a la même air au dessus de l'axe de abscisse qu'en dessous. Peut-on dire autres choses...?
Si on représente chaque polynôme par un vecteur dont l'origine serait "l'origine du repère" et le point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: p(x)=3x²+1 -> (3,0,1)) alors le problème de cette interprétation c'est que les vecteurs construits ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Legendre, par exemple).
Quelqu'un pourrait me donner une autre interprétation géométrique de deux polynômes orthogonaux?
Bonsoir
La notion d'orthogonalité est relative au produit scalaire utilisé.
Dans la plan vectoriel, c'est le produit scalaire canonique qui donne l'interpretation (droites perpendiculaires ...)
J'entends par produit scalaire naturel celui défini par :
pour
Ce qui se passe : on trace un repére orthonormé qui force les vecteurs de la base canonique à être orthogonaux au sens intuitif du mot et la conséquence est l'interpretaion de l'orthogonalité par la perpendicularité ...Or si on considére un autre produit scalaire comme par exemple :
pour
on a par exemple les vecteurs
sont orthogonaux car :
mais leurs supports ne sont pas des droites perpendiculaires
