PGCD de deux polynômes

[invite9a322bed]

Bonsoir,

Comment montrer que le pgcd de ces deux polynômes et est bien : avec

Merci !
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[invitead1578fb]

Bonjour,


j'ai trouvé une façon de montrer que divise bien tes deux polynômes

d'après la définition de d , tels que :

q=ad et p=bd

alors en posant et on a :

et

montrons à présent par récurrence que divise

Initialisation :

Supposons alors, divisible par



on a donc montré que divise , la démonstration pour est la même,

reste à montrer que est le plus grand diviseur , pour le moment je sais pas encore, une histoire de degré peut-être, je vais y réfléchir

Bonne continuation
Blable

[invite9a322bed]

Ok merci beaucoup blable

Moi je pensais à une histoire de racines communes.. Et utiliser l'identité de Bézout le fait qu'il existe u et v tel que :

[invite57a1e779]

L'identité de Bezout risque de ne pas être très pratique parce que u ou v est négatif.

Par contre, on peut essayer de prouver que, dans la division euclidienne de par , le reste est où est le reste de la division euclidienne de par .
On met ainsi en évidence que la pratique de l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD de et se fait en parallèle avec le calcul de PGCD de et , d'où le résultat final.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Bonsoir God's Breath,

J'essaye ta méthode, mais je n'arrive pas à exprimer un bon reste..

[invite9a322bed]

bable on peut aussi démontrer que les diviseurs de P_q sont P_d tel que d divise q ! Et là on pourra conclure ^^

[invite57a1e779]

Bonsoir,

Comment montrer que le pgcd de ces deux polynômes et est bien : avec

Merci !

Je suppose .


A partir de là, on prouve que ce qui permet la mise en place de l'algorithme d'Euclide.

[invite9a322bed]

Merci !