Sous-groupes normaux

[invite613090e7]

bonjour à tous
voila j'ai une petite question qui parait assez simple mais je séche dessus ^^

comment montrer que l'intersection de deux sous groupes normaux dans G est un sous groupe normal dans G ??

Merci d'avance
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[invite613090e7]

aprés qq reflections j'en suis arrivé à :

soit H et K deux sous groupe distingués(normaux) dans G et L leurs intersection.

soit g dans G et l dans L : l est dans H et l est dans K
l est dans H et H distingué => glg(^-1) est dans H ...(1)
l est dans K et K dinstingué => glg(-1) est dans K ...(2)

Donc d'aprés (1) et (2) glg(^-1) est dans L => L est distingué.

voila en esperant que c'est bien ça ^^

[Flyingsquirrel]

Salut,

soit H et K deux sous groupe distingués(normaux) dans G et L leurs intersection.

soit g dans G et l dans L : l est dans H et l est dans K
l est dans H et H distingué => glg(^-1) est dans H ...(1)
l est dans K et K dinstingué => glg(-1) est dans K ...(2)

Donc d'aprés (1) et (2) glg(^-1) est dans L => L est distingué.

D'accord. N'oublie pas de dire que est un sous-groupe de car c'est l'intersection de deux sous-groupes de .

[invite613090e7]

Salut,

D'accord. N'oublie pas de dire que est un sous-groupe de car c'est l'intersection de deux sous-groupes de .

oui tellement j'était obsédé par la normalité de L que j'en oubliais qu'il fallait que ça soit un sous groupe de G ^^ Merci pour tes précisions.

j'en profite pour poser une autre question toujours dans le méme registre :
comment montrer que l'ensemble des automorphisme interieur de G est un sous groupe distingué dans l'ensemble des automorphisme de G.

bon pour montrer que c'est un sous groupe je sais faire mais pour la normalité ..., quelqu'un aurait une idée ?

Merciii d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

j'en profite pour poser une autre question toujours dans le méme registre :
comment montrer que l'ensemble des automorphisme interieur de G est un sous groupe distingué dans l'ensemble des automorphisme de G.

bon pour montrer que c'est un sous groupe je sais faire mais pour la normalité ..., quelqu'un aurait une idée ?

Comme pour l'exo précédent, c'est assez simple. Il suffit quasiment d'écrire ce que l'on te demande de montrer...

[invite613090e7]

Comme pour l'exo précédent, c'est assez simple. Il suffit quasiment d'écrire ce que l'on te demande de montrer...

euh ecrire ecrire c'est facile a dire aussi ^^ sachant que l'algébre c'est pas ma tasse de thé donc :

soit x dans G
Ix(gi) : G--->G
g---> Ix(gi)=x(gi)x(^-1)

(gi) c'est g indice i
puis on pose H c'est l'ensemble des automorphisme interieur de G et on a pour chaque (gi)dans G => x(gi)x(^-1) est dans H

c'est un peu confus, je ne suis pas sur de ce que j'écris.. de l'aide svp ?

[Flyingsquirrel]

soit x dans G
Ix(gi) : G--->G
g---> Ix(gi)=x(gi)x(^-1)

(gi) c'est g indice i

puis on pose H c'est l'ensemble des automorphisme interieur de G et on a pour chaque (gi)dans G => x(gi)x(^-1) est dans H

Je ne comprends pas la fin de la dernière phrase : « et on a pour chaque (gi)dans G => x(gi)x(^-1) est dans H ». est un élément de , est un sous-groupe de (= le groupe des automorphismes de ) donc tu ne peux pas dire que (il est par contre vrai que ).

Et puis tu n'as pas écrit ce que signifie « est un sous-groupe normal de ».

[invite613090e7]

Je ne comprends pas la fin de la dernière phrase : « et on a pour chaque (gi)dans G => x(gi)x(^-1) est dans H ». est un élément de , est un sous-groupe de (= le groupe des automorphismes de ) donc tu ne peux pas dire que (il est par contre vrai que ).

Et puis tu n'as pas écrit ce que signifie « est un sous-groupe normal de ».

euh récapitulons un peu pour ma petite téte :

H= int(G)
H normal ds G <=> Hf=fH tq Hf = {Ix f tq Ix dans H}

mais je vois toujours pas, c'est pénible je l'avoue mais Encore un peu d'aide Merciiiii

[Flyingsquirrel]

H= int(G)
H normal ds G <=> Hf=fH tq Hf = {Ix f tq Ix dans H}

Autrement dit, étant donné et , on doit avoir . Cela signifie que, étant donné et , on doit trouver un tel que pour tout ,

.

C'est cela que j'entendais par « écrire ce que l'on te demande de montrer ». Si tu en restes à la formulation générale « H normal ds G <=> Hf=fH », tu n'utilises pas les informations que tu as sur donc il t'est plus difficile de répondre à la question.

Je te laisse chercher , n'hésites pas à poser des questions ou à demander davantage d'aide.

[invite613090e7]

Re et bonsoir,
voila je poste pour dire que j'arrive a rien, j'ai beau tourner ça dans tous les sens il y a un truc qui m'échape.

j'ai essayé de prendre un y dans Hf et montrer qu'il est dans fH( prouver la double inclusion ) mais sans succés car je trouve pas avec quoi définir f, certe f dans aut(G) mais f(g)= ??
compte à trouver y tq f¤Ix¤f(^-1) = ygy(^-1) je ne vois pas comment tu as trouvé ça, je suis daccord pour dire qu'il suffit de trouver f¤Ix¤f(^-1) dans H mais pour y arriver ça reste un mystere pour moi ^^

En esperant que vous pourez m'aider, merci et bonne fin de soirée

[Flyingsquirrel]

compte à trouver y tq f¤Ix¤f(^-1) = ygy(^-1) je ne vois pas comment tu as trouvé ça, je suis daccord pour dire qu'il suffit de trouver f¤Ix¤f(^-1) dans H mais pour y arriver ça reste un mystere pour moi ^^

Ben c'est la définition d'un automorphisme intérieur de : est un automorphisme intérieur de s'il existe tel que pour tout , .

[invite613090e7]

Oui daccord ça m'ai sorti de la tété n'empéche que je vois toujours pas, vu le temps que j'ai passé sur cet exercice je suis sur de ne pas l'oublier de si tot !
enfin voila ce que j'ai pu écrire je ne sais pas si c'est correcte mais bon :

H normal ds G <=> Hf=fH tq Hf = {Ix¤f tq Ix dans H et f dans aut(G)}
f¤(Ix)¤f(^-1)(g) = ygy(^-1)
on a y = f¤(Ix) d'aprés la définition plus haut
faut trouver (Ix¤f) g (f¤Ix)(^-1) dans H ( esque c'est mathématiquement correcte, esque c'est faisable,...)
enfin vu le temps que j'ai passé dessus, et si je suis tjs pas sur la bonne voie, Flyingsquirrel esque tu pourrais me donner un enchainement de reponse pour comprendre le deroulement de l'exercice ?

Merciii encore pour ta patience, c'est vraiment trés sympa

[Flyingsquirrel]

on a y = f¤(Ix) d'aprés la définition plus haut

Non. est une application alors que est un élément de ...

enfin vu le temps que j'ai passé dessus, et si je suis tjs pas sur la bonne voie, Flyingsquirrel esque tu pourrais me donner un enchainement de reponse pour comprendre le deroulement de l'exercice ?

C'est difficile d'en dire plus sans donner la solution complète. Il faut jouer sur l'écriture de pour le mettre sous la forme (n'oublie pas que ).