Sous-groupes normaux de S4

[Bleyblue]

Bonjour,

Je suis occupé sur un exercice dans lequel on me demande de déterminer tous les sous-groupe normaux de S₄

Je suis sensé utiliser le fait qu'un sous-groupe est normal si et seulement si il est une réunion de classes de conjugaison.

Les diverses classes de conjugaison de S₄ sont constituées des éléments ayant le même type (le type d'une permutation est constitué des cardinaux des divers cycles disjoints de la décomposition de l'élément)

Donc pour S₄ les types possibles sont :

(1,1,1,1)
(2,1,1)
(2,2)
(3,1)
(4)

On a donc 5 types possibles donc 5 classes de conjugaisons. Mais maintenant je ne sais pas très bien comment je dois continuer.
Dois-je déterminer tous les éléments de chaque type ? Ca risque de prendre du temps (enfin pour S₄ ça va mais si je prends ne fut-ce que S₅ ...)

merci
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[invitebe6c366e]

Pour le moment, je peux seulement te donner la réponse alors si tu trouves de quoi, tu pourras te vérifier:
Les sous-groupes normaux de S₄ sont :

-L'ensemble contenant seulement l'identité
-L'ensemble des permutations paires de S₄
-S₄ lui-même bien sûr
-L'ensemble contant l'identité, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4) et (1,4)(2,3)

J'essaie de te revenir avec une piste de solutions en utilisant ton théorème et ce que tu a trouvé pour les classes de conjugaison.

[invite2c3ff3cc]

Une suggestion :

A partir de ta décomposition en cycle tu peux déterminer la taille des classes de conjugaison de chaque type :
(1,1,1,1) : 1
(2,1,1) : 6
(2,2) : 3
(3,1) : 8
(4) : 6

Y'a la classe de conjugaison de {e} qui est de taille 1 et qui doit être dans la liste oeuf corse..

Comment faire un diviseur de 24 (Lagrange) en utilisant 1 (systématiquement) et 3,6 et 8.

Si on prend pas 8 : on a un diviseur de 24 = 1 mod 3 : y'a que 1 et 4 = 1+3
Ca donne deux ss-groupes normaux { e } et celui des permuts (2,2)

Si on prend 8 : le seul diviseur de 24 de la forme 1+8+3*kekchose est 12 (et 24 mais bon ...). C'est A4 distingué s'il en est.

[Bleyblue]

Ok je vais essayer de voir ça, merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite718b7f0b]

Bonjour,
j' ai un problème sur cette question

"Déterminer tous les sous-groupes de A4(on utilisera les conjugaisons) en classant ces sous-groupes par familles de sous-groupes isomorphes.
Existe-t-il des sous-groupes de A4 non conjugués mais isomorphes entre eux?"
Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance