Changement de base

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

Pourriez-vous me résumer dans quels cas on se doit d'utiliser la formule ou ? Je ne saisis pas bien quand je dois utiliser l'une plutôt que l'autre. Enfin, je sais tout de même que lorsqu'on considère la matrice d'un endomorphisme, on se sert de . C'est surtout l'autre qui me pose problème. Dans mon cours, j'ai vu qu'on l'utilisait lorsqu'il s'agissait de formes quadratiques (ou polaires), mais pourtant, cela ne semble pas toujours fonctionner...

Merci d'avance!
-----

[FonKy-]

Tu dis que quand P est un automorphisme orthogonal, donc en fait c'est un cas particulier. Le cas général étant
En fait , je fais référence à cette notion:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_orthogonale

[invitec13ffb79]

Voici mon exemple:



Il s'agit là de la matrice d'une forme quadratique. J'ai trouvé qu'il existait une base V de vecteurs propres (\Omega étant diagonalisable), mais lorsque j'applique la formule , je ne retombe pas sur la matrice diagonalisée! Comment expliquez-vous cela? D'après mon cours, cela devrait parfaitement fonctionner..

[God's Breath]

Dans la base canonique de , la matrice représente
– une forme quadratique sur ;
– un endomorphisme de .

Dans une autre base, avec matrice de passage ,
– la forme quadratique est représentée par ;
– l'endomorphisme est representé par la matrice .

Il n'y a aucune raison pour que : ce n'est parce que et sont représentés par la même matrice dans la base canonique qu'il en est de même dans une autre base.

Puisque ta nouvelle base est une base de vecteurs propres de , tu peux assurer que la matrice de dans cette base est diagonale, mais tu ne peux rien savoir de puisque ta base n'a aucun lien avec .

Pour assurer que est diagonale, le plus simple est de construire la base de vecteurs propres de telle sorte que soit orthogonale, ainsi tu auras , donc , c'est-à-dire une (même) matrice diagonale tant pour la forme quadratique que pour l'endomorphisme .

[A voir en vidéo sur Futura]