changement de base

[invited231abb3]

Bonsoir
Voilà un petit exo qui me donne pas mal de fil à retordre. Voici l'énoncé :
Soit f appartenant à L(R3) dont la matrice dans la base canonique est A = [[2,1,1][1,2,1][1,1,2]]
(des 2 dans la diagonale et des 1 ailleurs)
Déterminer une base B’ dans laquelle la matrice de f est diagonale.

J'ai posé (e' étant les vecteurs de la nouvelle base) :
f(e1')=ke1'
f(e2')=ke2'
f(e3')=ke3'
Mais je n'arrive pas à aboutir.

Sinon j'ai calculé les valeurs propres de f, je trouve 2-exp((ln 4)/3) et deux autres solutions imaginaires. Il doit y avoir un rapport puisque c'est le titre de ma feuille. Mais je ne vois pas du tout comment m'en sortir avec ça.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invitead1578fb]

en fait la méthode qui te manque s'appelle diagonalisation de matrices
dont tu trouveras les détails sur wiki par exemple.

Pour ton exp, après avoir calculé les vp de A
tu dois trouver les vecteurs générateurs du ker de A-vp In, pour chaque vp où In est la matrice identité

Ensuite pose P la matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs en question

et A = P D P^(-1) , avec D la matrice diagonale dont les diagonales sont les vp caluculées.

Remarque: peu importe l'ordre pour arranger les vp dans D ou les colonnes de P du moment que c'est le même pour les deux.

j'espère que ça t aidera.

blabla

[invitead1578fb]

(la base étant à priori (si c'en est bien une) celle formée par les 3 colonnes de P)