Bonsoir aux matheux.
Question inspirée par un fil voisin où il fallait résoudre tan(x) = k x.
On dit que c'est impossible analytiquement avec les fonctions usuelles. Mais sait-on le démontrer rigoureusement ou bien dit-on simplement : "Il y a des gens trapus qui ont essayé longtemps mais n'y sont pas arrivés, alors ce doit être impossible" ? Ce n'est sûrement pas simple car des fonctions tordues c'est facile à créer.
Merci.
Si l'équation admettait une racine de la forme x=f(k), où f s'exprime analytiquement avec les fonctions usuelles, alors f serait solution d'une équation différentielle, et l'on prouve que c'est impossible.
C'est la même chose que pour les primitives de exp(-x^2).
Oui, je vois l'esprit du truc. De toutes façons il doit y avoir bien plus d'équations (différentielles ou autres) insolubles analytiquement que d'équations qu'on peut résoudre. D'alleurs le nombre d'équations, c'est aleph combien ?
La question sur le nombre d'équations n'a pas vraiment de sens mathématiques sans préciser ce qu'est une équation...
Réponse heuristique : une équation c'est une liste finie de d'éléments d'un ensemble E constitué :
— des signes arithmétiques
— de symboles pour représenter des dérivées ou autres opérations utiles suivant le type d'équation considéré
— des entiers naturels
— des fonctions continues (en pratique on se limite certainement à un sous-ensemble)
— d'autres choses ???
Je pense donc que l'on peut décemment considérer que E la puissance du continu, et donc que les listes finies d'éléments de E ont aussi la puissance du continu, ce qui n'est finalement pas si énorme que ça.
Cela dépend comment tu les comptes (équations à coefficients dansEnvoyé par Jeanpaul
) : si tu considères que x-1=0 est une équation différente de l'équation x-2 =0, il devrait exister
Le vocabulaire des équations est constitué des fonctions usuelles en nombre fini, opérations usuelles (+, x, ° ...) en nombre fini, de symboles de constantes en nombre infini et une équation est un mot fini sur ce vocabulaire, donc
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour ces réponses. Je n'ai jamais été un spécialiste des équations différentielles mais j'ai toujours été admiratif de voir quelqu'un sortir "c'est une équation de type Machin qui peut se résoudre en prenant pour variable...".
Et j'ai l'impression qu'il suffit de rajouter un x quelque part pour que tout cela s'effondre. D'où le sentiment qu'on ne peut résoudre analytiquement qu'une toute petite minorité d'équations, notamment différentielles.
Il y a un théorème de Liouville qui dit des choses approchantes, voir ici : http://denisfeldmann.fr/PDF/liou.pdf
