Suite exhaustive de compacts.

[Anonyme007]

Bonjour,

Soit un espace localement compact, Hausdorff et à base dénombrable, tel qu'il existe une suite de compacts telle que, pour tout , et .
Soit l’espace des fonctions continues , à support compact.
Comment montrer que, .

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

Pardon. J'ai mal formulé ma question,

Comment montrer que, ?
En d’autres termes, comment montrer que, est la limite projective du système projectif ?
est définie par, pour tout, .

Merci d'avance.

[syborgg]

On a un morphisme canonique évident : donnée par les restrictions.
Ce morphisme est clairement injectif (noyau nul par exemple). La seule chose qui reste à prouver est qu'il est surjectif, ce qui revient à vérifier que le recollement d'une famille de fonctions à support compact sur les (avec compatibilté de restrictions) est encore à support compact.

[Anonyme007]

Merci beaucoup syborgg pour cet éclairage.

La seule chose qui reste à prouver est qu'il est surjectif, ce qui revient à vérifier que le recollement d'une famille de fonctions à support compact sur les (avec compatibilté de restrictions) est encore à support compact.

Le recollement de et avec, , (avec compatibilté de restrictions) est qui est à support compact. Est ce que cela suffit pour conclure la surjectivité ?.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Non ca ne suffit pas : il faut recoller sur la reunion de tous les Kn. Pour cela, il faut utiliser les hypotheses, qu'on a pas encore utilisées.