Base directe de l'espace

[mgtoul]

Bonjour,

On considère une base orthonormée de l'espace :
On considère trois vecteurs dont les coordonnées dans la base sont .
On demande si est une base de l'espace et, le cas échéant, si elle est directe.

Pour montrer que est une base, j'ai supposé qu'il existait trois réels tels que puis j'ai montré que .

Ce qui me pose problème est de démontrer que la base est directe ou indirecte. Je ne suis pas sûre de mon raisonnement.
Je sais que l'on oriente l'espace en choisissant une base qui définira deux classes d'équivalences dîtes directes et rétrogrades.
Les bases directes sont celles dont le déterminant dans la base choisie au départ est strictement positif.

Ici donc je suppose que la "base de référence" est la base et donc que je dois calculer le déterminant de dans la base . En utilisant la règle de Sarrus, je trouve soit -8.
Comme le déterminant est strictement négatif, j'en déduis que la base est indirecte.
Ce raisonnement est-il correct ?

Je me suis également demandée si je pouvais utiliser le produit vectoriel. Je sais que le vecteur défini comme le produit vectoriel de et est orthogonal au plan engendré par et . Mais la base est-elle toujours directe ? J'aurais envie de dire non puisque cela dépend de la base que l'on choisit pour orienter l'espace. Pouvez-vous m'éclairer sur ce point s'il vous plaît ?

Merci par avance pour vos commentaires et suggestions.
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[GBZM]

Bonjour,
Tu t'es trompé dans le calcul du déterminant.
Et oui, si et sont non colinéaires, alors est une base directe (le produit vectoriel est défini dans un espace euclidien orienté). Mais je ne vois pas à quoi ça pourrait t'avancer ici.

[mgtoul]

Pour le calcul du déterminant c'est -6+4*0-4=-10 donc la base est indirecte.

[mgtoul]

Pour le calcul de par les coordonnées, comme celles-ci sont définies dans la base ; le vecteur est dans la classe des bases directes si la base de référence est .

Je m'étais naïvement dit que si le produit scalaire où était négatif alors l'angle formé entre et était obtu et donc était indirecte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Je m'étais naïvement dit que si le produit scalaire où était négatif alors l'angle formé entre et était obtu et donc était indirecte.

Il me semblait justement que si u,v,w est une base directe et si indirecte. Si ce n'est pas le cas, je veux bien un contre-exemple.

m@ch3

[GBZM]

Un peu de confusion ! J'essaie de tirer les choses au clair.

le vecteur est dans la classe des bases directes si la base de référence est .

Cette phrase n'a pas de sens car un vecteur n'est pas une base.
Je l'ai dit et je le répète : si et sont non colinéaires dans un espace euclidien (de dimension 3) orienté, alors est une base directe. En effet, le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormal directe, qui s'appelle leur produit mixte, est .
De manière générale, le produit scalaire est égal au produit mixte et ce produit scalaire est donc strictement positif si et seulement si est une base directe.

[mgtoul]

Bonjour,
J'ai encore quelque chose qui me chiffonne; c'est la règle de la main droite.
En effet, supposons que l'on ait deux vecteurs et non colinéaires de l'espace vectoriel et notons V le sous-espace vectoriel engendré par et .
Alors la règle de la main droite donne un troisième vecteur qui engendre .
Mais supposons que l'on décide d'orienter avec la base alors la base où est donné par la règle de la main droite est une base indirecte ?
Ce qui me pose problème c'est que orienter un espace vectoriel est un choix arbitraire alors que la règle de la main droite est objective et indépendante du choix de la base qui sert à orienter l'espace.

[GBZM]

Mais supposons que l'on décide d'orienter avec la base alors la base où est donné par la règle de la main droite est une base indirecte ?

Oui, bien sûr.

Ce qui me pose problème c'est que orienter un espace vectoriel est un choix arbitraire alors que la règle de la main droite est objective et indépendante du choix de la base qui sert à orienter l'espace.

Le choix de la main droite pour orienter l'espace est tout aussi arbitraire : pourquoi pas la main gauche ?

[mgtoul]

Ok finalement peu importe que la base respecte ou non la règle de la main droite puisque la seule chose que l'on peut dire c'est que et n'ont pas la même orientation (je ne sais pas si l'on peut le dire comme ça) ou ne sont pas dans la même classe d'équivalence (parmi les deux possibles).

[GBZM]

Nous as-tu donné l'énoncé complet dans ton premier message ? Rien dans l'énoncé pour dire que l'orientation de l'espace est donnée par la base ?

[mgtoul]

Non rien de plus dans l'énoncé, on ne parle pas d'orientation de l'espace.
La règle de la main droite est surtout une règle utilisée en physique non ?

[GBZM]

Non rien de plus dans l'énoncé

Alors l'énoncé est fautif, s'il ne dit pas que est une base orthonormée directe.