Gram-Schmidt donne-t-il une base orthonormée directe ?

[ThibaudMP]

Bonjour,

Je me demandais si le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permettait d'avoir accès à une base orthonormée directe ou seulement orthonormée.

Merci d'avance
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[albanxiii]

Bonjour,

Si je ne dis pas de bêtise, la notion de base directe n'existe qu'en dimension 3 (*), et en dimension 3 quand vous avez 2 vecteurs de base, vous pouvez en déduire le 3ème par produit vectoriel de sorte que la base soit directe.


(*) quoiqu'on puisse trouver des généralisations, mais je ne vois pas de façon canonique de le faire.

[gg0]

Bonjour.

On peut définir, me semble-t-il, des bases directes en toute dimension, à partir d'une convention d'orientation (voir Wikipédia). Si on dispose déjà d'une base directe, on peut la normer si nécessaire et s'en servir pour orienter l'espace vectoriel. Et on utilisera cette orientation pour obtenir une B.O.N. directe (choix du sens du dernier vecteur). Sinon, le procédé de Gramm-Schmidt n'a à priori aucun rapport avec l'orientation (à chaque étape, on peut inverser le sens du nouveau vecteur obtenu).

Cordialement.

[GBZM]

Bonjour,
Parler de b.o.n. directe n'a de sens que si on a fixé une orientation de l'espace euclidien.
Rappelons que deux bases définissent la même orientation de l'espace si et seulement si le déterminant de la matrice de changement de base est strictement positif.
Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt fournit, à partie d'une base quelconque d'un espace euclidien, un b.o.n. de même orientation que la base de départ : en effet, la matrice de changement de base est triangulaire à coefficients diagonaux strictement positifs.
Par ailleurs,quand on a une b.o.n., il est facile de fabriquer une b.o.n. d'orientation opposée : il suffit de multiplier un des vecteurs par -1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Si je ne dis pas de bêtise, la notion de base directe n'existe qu'en dimension 3 (*), et en dimension 3 quand vous avez 2 vecteurs de base, vous pouvez en déduire le 3ème par produit vectoriel de sorte que la base soit directe.
(*) quoiqu'on puisse trouver des généralisations, mais je ne vois pas de façon canonique de le faire.

Pour le produit vectoriel, cela ne marche qu'en dimensions 0, 3 et 7 seulement.
Pas nécessaire pour définir une orientation.

[gg0]

Merci GBZM d'avoir clarifié ce que je connaissais mal.
Maintenant, on aimerait une réaction de ThibaudMP.

Cordialement.

[GBZM]

Avec plaisir.

[ThibaudMP]

Désolé, je viens d'ouvrir le Forum !

Effectivement, je n'avais pas précisé ce que je voulais dire par base orthonormée directe. Il s'agit d'une base dont la matrice de changement de base de la base canonique à icelle a un déterminant valant 1. Multiplier un des vecteurs obtenus via Gram-Schmidt par -1 résout totalement le problème ! Si il y'a un(e) intéressé(e), la racine de cette question est la preuve de l'irréductibilité de , au sens que les seuls sous espaces vectoriels de laissés stables par sont le singleton et l'ensemble tout entier

Merci beaucoup pour vos réponses !

[MissJenny]

Par ailleurs,quand on a une b.o.n., il est facile de fabriquer une b.o.n. d'orientation opposée : il suffit de multiplier un des vecteurs par -1.

ou d'échanger les places de deux vecteurs (ou permuter tous les vecteurs à l'aide d'une permutation de signature -1)