algorithme de Gram-Schmidt

[invite4a9059ea]

Bonjour tous le monde ;

j'ai une base de 3 vecteurs ( (1; 1; 0; 0); (1; 0; 1; 0) ; (1; 0; 0; 1) ) et je veux déterminer une base orthogonale à partir de celle-ci en utilisant

l'algorithme de Gram-Schmidt , je sais le faire avec 2 vecteurs , mais avec 3 vecteurs , j'ai du mal , je crois que je n'ai pas bien compris la méthode ,

je sais que je dois arriver à ce résultat : ( (1; 1; 0; 0) ; (-1/2; 1/2; 1; 0) ; (1/3;-1/3; 1/3; 1) ) mais comment ??? je ne vois pas trop !


Merci de m'éclairer

Cordialement
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[invite6f25a1fe]

t'es sûr de ton résultat ??? L'algorithme de g-S est censé te donner une base orthonormée. Or tes vecteurs (dans ta solution) ne le sont pas ...

Sinon, l'algorithme est assez simple quand on le comprend :
1) tu normalises ton premier vecteur, donc pour toi, ca donnera :


2) ensuite, pour les autres vecteurs, par exemple pour obtenir V2, il faut le projeté sur la base que tu es en train de construire. En gros, on dit que V2=U2 - la projection de U2 sur U1 (on enlève ce qui dépasse en quelque sorte)

Donc tu obtiens k facilement en divisant par la norme pour obtenir un vecteur de norme 1

3) et ainsi de suite à chaque fois, tu enlèves les projections sur la base que tu es en train de construire :


P.S : ok, en fait j'avais pas vu, si tu as besoin juste d'une base orthogonale, tu peux utiliser G-S. Pour cela, il faut faire une petite modification de ce j'ai proposé dans le post (au passage, c'est presque plus simple d'utiliser G-S en normant directement les vecteurs comme je le propose ici)

[invite4a9059ea]

désolé ! mais je n'ai toujours pas compris comment sont obtenus les vecteurs de la nouvelle base orthogonale ?

Cordialement