Unicité Gram Schmidt !

[ichigo01]

Salut à tous !

Dans la méthode de Gram Schmidt, lorsqu'on obtient une base orthogonale (avant de la normaliser) qu'est ce qui prouve l'unicité de cette base ?

Est ce que quelqu'un connait la démonstration ?
Et est ce que cela a une relation avec les éléments diagonaux de la matrice de passage ( qui est triangulaire supérieure ) ??
Car notre prof de cours a considéré l'unicité de la base obtenue à condition que les éléments de la matrice de passage soient positifs !!!!

Merci pour votre aide !
-----

[invite57a1e779]

-lorsqu'on obtient une base orthogonale (avant de la normaliser) qu'est ce qui prouve l'unicité de cette base ?

Tant que l'on n'a pas imposé une condition sur la norme des vecteurs, il n'y aucune unicité possible puisqu'on remplacer chaque vecteur par un vecteur colinéaire non nul.

Lorsque l'on normalise la base, on a encore le choix, pour chaque vecteur, d'un facteur multiplicatif de module 1.

C'est effectivement la condition de positivité des éléments diagonaux de la matrice de passage qui impose le choix du facteur multiplicatif, et l'unicité de la base orthonormée obtenue.

[ichigo01]

Lorsque l'on normalise la base, on a encore le choix, pour chaque vecteur, d'un facteur multiplicatif de module 1.

d'accord, ce que j'ai pas compris c'est pourquoi le module du facteur multiplicatif doit être égale à 1 ?

C'est effectivement la condition de positivité des éléments diagonaux de la matrice de passage qui impose le choix du facteur multiplicatif, et l'unicité de la base orthonormée obtenue.

J'ai essayé mais je n'arrive pas à comprendre le rôle de la positivité des éléments diagonaux !

Merci !

[invite57a1e779]

d'accord, ce que j'ai pas compris c'est pourquoi le module du facteur multiplicatif doit être égale à 1 ?

Parce que : si l'on veut que et soient unitaires, on est obligé d'imposer .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

J'ai essayé mais je n'arrive pas à comprendre le rôle de la positivité des éléments diagonaux !

Si la famille initiale est et la famille finale , alors toute autre famille sera de la forme avec les de module 1.

Comme les coefficients diagonaux de la matrice de passage sont liés aux produit scalaires , leur positivité fournit l'unicité des .

[ichigo01]

d'accord, j'ai presque tout compris , sauf la positivité du produit scalaire qui implique l'unicité de ?!!

Si on suppose qu'on donc la positivité des éléments diagonaux nous donne :
est égale à 1 ou -1 mais on sait pas si le produit scalaire est positive !!

Edit: c'est bon, j'avais pas fait attention,

[ichigo01]

Il reste une chose au début que je n'ai pas bien saisit,
Si on suppose avoir une autre base, pourquoi elle sera forcément de la forme : et non pas autre chose par exemple un vecteur qui est combinaison de et ??