limite de Un+1/Un et de racine énième de Un

[ilelogique]

Bonjour, est-il établi et si oui sous quelles conditions et pourquoi, que la limite (si elle existe) de Un+1/Un est la même que celle de (Un) puissance 1/n ?
merci
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[gg0]

Bonjour.

Comme il y a un lien avec la convergence des séries, la page Wikipédia sur le critère de Cauchy répond à ta question, en particulier la note 3.

Cordialement.

[ilelogique]

Merci, je vois dans votre note 3 un sens de l'implication seulement, avec un contre exemple pour la réciproque avec Un = 2 puissance ((-1 puissance n) - n) (désolé je ne sais pas noter les puissances ici) pour qui la limite de la racine énième vaut 1/2 alors que Un+1/Un n'a pas de limite, je vais donc creuser vers Cauchy et D'Alembert, merci. Étonnant qu'il y ait si peu d'hypothèses sur U (juste Un>0) ; en particulier j'en déduis que la limite de la racine énième de Fn vaut le nombre d'or aussi si Fn est Fibonacci...

[gg0]

Ah si ! Il y a bien une grosse hypothèse sur U : que aucun terme ne soit nul pour pouvoir calculer Un+1/Un. De même, il vaut mieux que les termes d'indice pair soient positifs si on veut calculer leur racine n-ième.

Pour " la racine énième de Fn vaut le nombre d'or aussi si Fn est Fibonacci", c'est une quasi évidence avec la formule qui donne Fn en fonction du nombre d'or puisque Fn est équivalent, quand n tend vers l'infini à phi^n/rac(5), donc sa racine n-ième équivalente à phi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ilelogique]

Oui merci, c'est beau Cauchy et D'Alembert....