Re : Edp

**Anonyme007** · 25/01/2024, 00h59

Bonsoir à tous,

On considère le système d'équations différentielles suivante, $\text{[math]}$ , où, $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ , solution du système, est une fonction différentiable sur $\text{[math]}$ définie par, $\text{[math]}$ .
Vous pouvez remarquer que $\text{[math]}$ n'est autre que la matrice Jacobienne de $\text{[math]}$ au point $\text{[math]}$ .
On suppose aussi que la trace de $\text{[math]}$ vérifie, $\text{[math]}$ .

Existe-t-il un moyen d'étudier l'existence et l'unicité du système $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 25/01/2024, 01h25

Pour être plus clair, $\text{[math]}$ est le système linéarisé du système $\text{[math]}$ .
Bref, si $\text{[math]}$ est solution du système $\text{[math]}$ , est ce que, le DL de la solution $\text{[math]}$ , au voisinage de $\text{[math]}$ à l'ordre 1 est solution du système linéarisé, $\text{[math]}$ ?
Sinon, comment étudier l'existence et l'unicité du système linéarisé $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 25/01/2024, 10h23

Pardon. Je corrige,

Bref, si $\text{[math]}$ est solution du système $\text{[math]}$ , est ce que, le DL de la solution $\text{[math]}$ , au voisinage de $\text{[math]}$ à l'ordre 1 est solution du système linéarisé, $\text{[math]}$ ?
Sinon, comment étudier l'existence et l'unicité du système linéarisé $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**ThM55** · 25/01/2024, 17h35

En quoi le système en question est-il linéarisé? Il ne l'est pas. Si je développe les équations, à moins d'une erreur d'interprétation, je vois ceci:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Cela n'a rien de linéaire.

En général pour les équations aux dérivées partielles on ne dispose pas d'un théorème d'existence et d'unicité sous des conditions très larges comme pour les équations différentielles ordinaires, ni de preuve générale de la dépendance continue par rapport aux conditions aux limites ou initiales. Au contraire si c'est non linéaire on peut avoir des phénomènes de blow-up, où la solution cesse d'être définie.

Ici, c'est un système non-linéaire, mais quasi-linéaire, du premier ordre. Par exemple si les données de Cauchy sont données sur l'hypersurface t=0 dans l'espace-temps de coordonnées $\text{[math]}$ , sous la forme des valeurs différentiables des fonctions $\text{[math]}$ , le membre de droite est bien défini et on peut intégrer chaque composante en t. Ce genre de système doit pouvoir être étudié plus généralement par la méthode des caractéristiques. Je te laisse explorer.

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**ThM55** · 25/01/2024, 17h58

Ce que j'ai voulu dire c'est qu'on peut analyser ce système dans l'esprit de Cauchy-Kovalevski: si les données de Cauchy sont données sous forme analytiques en t=0, en supposant une dépendance analytique des $\text{[math]}$ par rapport à t, on peut dans un voisinage de t=0 développer en série. En dérivant successivement chaque équation par rapport à t, on peut calculer les dérivées de tous ordres par rapport à t en substituant chaque dérivée.

Synthétiquement:

$\text{[math]}$

Dans $\text{[math]}$ on a des dérivées mixtes et on doit appliquer le théorème de permutation des dérivées et y substituer les dérivées par rapport au temps selon l'équation. Cela donne des expressions très compliquées, je ne vais pas prendre le temps de les écrire, mais c'est l'idée générale que je veux mettre en avant: chaque dérivée de tout ordre par rapport au temps s'exprime en fonction des dérivées par rapport aux coordonnées d'espace sur l'hypersurface t=0.

**Anonyme007** · 25/01/2024, 20h04

Bonsoir,

Merci pour ta réponse.
Sais tu où je peux trouver sur le net des documents qui portent sur l'étude des équations différentielles ou système d’équations différentielles de la forme, $\text{[math]}$ ?
Je me souviens en avoir vu un sur arxiv.org, mais cela remonte à plus de $\text{[math]}$ ans, quant je n'en avais plus besoin. Je suis triste de l’avoir perdu de vue.

**ThM55** · 29/01/2024, 17h18

Ta notation avec le rond, c'est la composition de la fonction avec elle-même?

Donc $\text{[math]}$ ?

C'est incohérent, car selon les notations précédentes, u est un vecteur dans $\text{[math]}$ et une fonction définie sur $\text{[math]}$ .

Il faut clarifier tes notations et hypothèses.

**ThM55** · 29/01/2024, 17h31

Il faut aussi noter que si par exemple u est une fonction $\text{[math]}$ , l'équation $\text{[math]}$ n'est pas une équation différentielle au sens usuel du terme et ne relève pas de la théorie habituelle. Il s'agit d'une équation qui est dans le domaine des équations différentielles fonctionnelles pour lesquelles on n'a pas vraiment de théorie unifiée. On travaille au cas par cas. Mais de toute façon avec les notations vectorielles précédentes, la question n'a pas de sens, puisqu'on applique la fonction à deux domaines de dimensions différentes.

**Anonyme007** · 29/01/2024, 23h25

Bonsoir,

Merci pour ta réponse.
En fait, on a, $\text{[math]}$
C'est à dire, la composition s’applique sur $\text{[math]}$ en ignorant $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**ThM55** · 30/01/2024, 10h25

OK, je comprends. Mais de toute façon ceci est une équation fonctionnelle et non une équation différentielle selon la nomenclature habituelle. Je doute fort que la théorie des équations différentielles ait quelque chose de pertinent à dire pour ce genre d'équation.

**Anonyme007** · 16/02/2024, 12h39

Bonjour,

Merci pour ces précisions ThM55.

- Existe-t-il s'il vous plaît, un moyen simple de montrer que l’opérateur $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ - dissipatif qui suit le meme esprit que le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_Hille-Yosida. C'est à dire, sans avoir recours au calcul variationnel.
- Existe-t-il s'il vous plaît, un moyen simple de montrer que le semi-groupe $\text{[math]}$ où, $\text{[math]}$ est une contraction en explicitant la norme $\text{[math]}$ qu'il faut utiliser ?

Merci d'avance.