Re : 12

**Arsinor** · 11/02/2024, 00h02

bonjour à tous,
5+7=12 et 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Pouvait-on prévoir ces propriétés de 12 avant de réaliser l'addition ?

**albanxiii** · 11/02/2024, 06h30

Bonjour,

Je ne vois pas ce que l'addition vient faire ici.
On a facilement la décomposition en facteurs premiers : $\text{[math]}$ donc il suffit de prendre toutes les combinaisons (*) possibles de cette décomposition et on obtient tous les diviseurs.
Explicitement :
2
2^2 = 4
3
2x3 = 6
Je ne mets pas 1 et le nombre lui même, on n'a pas besoin de la décomposition en facteurs premiers pour cela.

(*) combinaisons n'est pas le bon terme, mais avec la liste, on voit de quoi il s'agit... le bon terme m'échappe.

**Liet Kynes** · 11/02/2024, 06h58

Bonjour,

La question est-elle : peut-on connaître les diviseurs d'un nombre paire à partir de la ou des partitions de 2 nombres premiers qui lui sont propres ? En lien avec Goldbach?

(12-> 5+7)

**gg0** · 11/02/2024, 07h12

Bonjour Arsinor.

Si la question est "peut-on prévoir les diviseurs de a+b à partir de ceux de a et b ?", la réponse est dans la question. le seul diviseur commun de 12, 5 et 7 est 1.
En dehors de l'idée de faire remarquer encore une fois que l'addition et la multiplication ne fonctionnent pas de la même façon, as-tu vraiment une question ? Explique-toi !

Cordialement.

NB : 23+27 = 50.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pm42** · 11/02/2024, 07h20

Envoyé par gg0

Si la question est "peut-on prévoir les diviseurs de a+b à partir de ceux de a et b ?", la réponse est dans la question. le seul diviseur commun de 12, 5 et 7 est 1.

Si on reprend la question initiale, il y a au moins 2 choses qu'on peut prévoir : la divisibilité par 1 qui est pire que triviale. Et bien sur si a et b sont tous les deux pairs ou impairs, on sait que la somme sera divisible par 2.
Je ne sais pas si on peut avoir des critères pour la divisibilité par n > 2.

**gg0** · 11/02/2024, 07h44

Il y a aussi les facteurs communs, qui diviseront la somme.

**pm42** · 11/02/2024, 07h59

Envoyé par gg0

Il y a aussi les facteurs communs, qui diviseront la somme.

En effet, j'ai raté ça alors que c'est évident.
On doit aussi pouvoir trouver des critères avec des modulos mais l'intérêt est limité.

**Arsinor** · 11/02/2024, 21h23

gg0, il me semble avoir une question mais peut-être n'entre-t-elle pas dans les critères de ce que tu entends par question... question pertinente... question dont les origines sont compréhensibles ?
Toujours est-il que j'envisage les calculs (tels que je les conçois sans n'avoir fait de sciences dans ma vie sauf en terminale) comme une ligne, avec pour étapes les opérations. Peut-on prévoir, tel est un verbe, que le résultat non calculé d'une addition soit un multiple de x ?
Je propose une analogie avec une route :
tu pars de l'étape 1 que tu connais, pour une étape 4 que tu ne connais pas, tu tu ne prévois pas l'étape 3, mais tu vois de loin l'étape 2.

Autrement dit, est-il étonnant que l'addition de deux nombres aux propriétés P nulles donne un troisième nombre exceptionnel sous le rapport de P ? L'analyse de 5 et de 7 laissait-elle deviner un tel enrichissement ?

**Liet Kynes** · 12/02/2024, 06h09

Envoyé par Arsinor

Peut-on prévoir, tel est un verbe, que le résultat non calculé d'une addition soit un multiple de x ?

"Le résultat non calculé" d'une addition laisse supposer que les réponses qui vont t'être donné seront non formulées..

**Deedee81** · 12/02/2024, 07h33

Salut,

Envoyé par Arsinor

gg0, il me semble avoir une question mais peut-être n'entre-t-elle pas dans les critères de ce que tu entends par question... question pertinente... question dont les origines sont compréhensibles ?

Le problème n'est pas là il me semble. Il faut avant tout poser des questions claires. Ici ce n'est pas le cas.

Si je prend l'interprétation de Liet Kynes de ta question (il me semble que ça doit être ça), alors la question est encore largement ouverte. Il est très difficile de déduire les propriétés de divisibilité d'une somme de nombres à partir de la divisibilité (ou autres propriétés) des termes. Sans faire un calcul explicite pour un cas particulier évidemment. Il existe assez peu de théorèmes tournant autour de cas (*). Et c'est au coeur de plusieurs problèmes : Goldbach a été cité, il y a aussi les premiers jumeaux ou les nombres parfaits. Voir ceci par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...parfait_impair Voilà bien une question TRES simple (encore plus simple que Syracuse) dont la réponse nous échappe.

(*) il en existe bien sûr. Sous une forme ou une autre. Un des plus connus est : https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_...A8me_de_Fermat

Il existe des progrès régulièrement dans tous les problèmes de théorie des nombres, voir par exemple les travaux de Tao entre autre, peu ou prou lié à ces questions de divisibilité. Mais on constate aussi que ça devient de plus en plus compliqué (il y a parfois des exceptions mais généralement c'est normal : tout ce qui était simple a été trouvé. Quand des dizaines de milliers d'amateurs ou de professionnels se penchent sur les mêmes problèmes, il est vraiment rare qu'un résultat simple échappe à l'attention). Il suffit de voir la démonstration du théorème de Fermat-Wiles par exemple. Vraiment costaude (et d'ailleurs plus intéressante pour ses techniques développées que pour le théorème en soi qui n'a guère d'application il me semble).

Envoyé par Arsinor

Autrement dit, est-il étonnant que l'addition de deux nombres aux propriétés P nulles donne un troisième nombre exceptionnel sous le rapport de P ?

Etonnant, non, ça n'a absolument rien d'étonnant.
Si P = nombre pair, alors 1+3 = 4 deux nombres de propriété P fausse donne un résultat de propriété P vraie (et là pour le coup c'est facile à comprendre

mais on peut prendre pleins de propriétés différentes).

**pm42** · 12/02/2024, 07h42

Envoyé par Deedee81

Il faut avant tout poser des questions claires.

Oui et lire les réponses aide surtout quand elles exactement celles données à la question posée (cf. l'échange entre gg0 et moi-même).
Ce qu'apparement le primo-posteur n'a pas fait.

**Deedee81** · 12/02/2024, 07h46

Envoyé par pm42

Ce qu'apparement le primo-posteur n'a pas fait.

Difficile à déduire du message #8

**pm42** · 12/02/2024, 08h05

Envoyé par Deedee81

Difficile à déduire du message #8

Pas sur. Il y a quand même clairement :

Envoyé par Arsinor

Peut-on prévoir, tel est un verbe, que le résultat non calculé d'une addition soit un multiple de x ?

Ce qui est cohérent avec le 1er message et le "peu clair" qui entoure.

**gg0** · 12/02/2024, 09h30

Arsinor, il y a une réponse à ta question, je l'ai déjà donnée indirectement :
Si a et b sont des multiples de x, alors a+b est un multiple de x.
La réciproque étant fausse, ta question n'a pas de réponse. Ton exemple du voyage est d'ailleurs éclairant : le paysage de départ ne dit pas toujours le paysage à l'arrivée. 5 et 7 n'ont que 2 diviseurs, 5+7 en a plein.

Cordialement.