Classification des EDO.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Pouvez vous m'indiquer une référence bibliographique ou un cours sur le net où l'on présente de manière claire le projet de classification des équations différentielles ( déjà achevé par les grands mathématiciens de l'époque ), pour lesquelles on dispose de formules explicites, c'est à dire qui peuvent être résolues analytiquement en les exprimant comme une combinaison de fonctions usuelles ?.

Historiquement, c'est Euler qui a entrepris ce projet en , et personnellement j'ignore la date d’achèvement de ce projet. Si vous pouvez aussi me rediriger vers un lien où l'on explique depuis le début, jusqu'à la fin l’historique de ce projet et quels sont les mathématiciens qui y ont participé, et en quelles années ?

Merci d'avance.
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[JJacquelin]

Bonjour,

Il faudrait déjà que soit bien défini ce qu'est une "fonction usuelle".
Par exemple on trouve sur le web : "On appelle fonctions usuelles les fonctions qui sont suffisamment utilisées pour qu'on leur donne un nom et qu'on connaisse par cœur leurs propriétés élémentaires. La liste des fonctions usuelles dépend donc de l'usage qu'en fait la personne et donc du domaine des sciences considéré."
La frontière entre "fonction usuelle" et "fonction spéciale" est laissée en grande part à l'appréciation de tout un chacun, selon son niveau de connaissances. Autant dire que la question posée dans ces termes ara autant de réponses différentes que d'interlocuteurs et de contextes différents.
Un article de vulgarisation comportant une réflexion sommaire sur la classification de certaines fonctions :
https://fr.scribd.com/doc/14623310/S...ions-speciales

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci JJacquelin pour ton aide.

C'est écrit ici, https://arege.pages.math.cnrs.fr/fil...310.pdf#page31 page, 4, que le projet de classification des EDO a été lancé par Euler vers l’an 1769, mais sans entrer dans les détails malheureusement.

Le cours affirme :
Un siècle plus tard, en 1769, Euler entreprend la classification de toutes les équations différentielles pour lesquelles on dispose de formules explicites.

Une ligne après, l’auteur du cours précise que,
Au XIXe siècle, Liouville démontre que certaines équations ne peuvent être résolues analytiquement : la solution existe, mais ne peut être exprimée comme une combinaison de fonctions usuelles.

Où puis-je trouver s'il vous plaît cette démonstration de Liouville soulignée dans ce passage ?

Merci d'avance.

[JJacquelin]

Bonsoir,

sans être féru sur ces questions historiques, je pense qu'il faudrait aller voir du coté de l'algorithme de Risch et que cela vaudrait la peine de faire une recherche bibliographique dans ce domaine.

Bonne chance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[JJacquelin]

Plus spécifiquement en relation avec la question posée, il faudrait aussi aller voir du coté des méthodes de calcul formel utilisées pour résoudre certaines équations différentielles.

Par exemple : WOLFRAM/ALPHA. Il y a toujours une base de données associée, qui répertorie les fonctions usuelles et spéciales que l'on retrouve finalement dans les formules des solutions. Si cette base de données était artificiellement limitée aux seules fonctions permises (comme étant "usuelles") seules seraient résolues les EDO dont les solutions s'expriment avec les dites "fonctions usuelles".

[Anonyme007]

Merci beaucoup JJacquelin pour cet éclairage.