Résolution d'une equation polynomiale d'ordre 3

[DAK34]

Bonjour à tous,

Les mathématiques remontent à très loin pour moi. Je cherche à résoudre une équation polynomiale de degré 3 de type : ax3+bx2+cx = y (avec a, b et c non nul mais des nombres décimaux) obtenus à partir d'une courbe d'étalonnage (x représente une concentration et y l'Absorbance).
Je souhaiterai trouver la valeur x (concentration) à partir de la valeur mesurée y.

Je vous remercie par avance pour celles ou ceux qui pourrait m'aider.

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

A priori, il peut y avoir 3 valeurs pour x, donc il faudra plus de renseignements. D'autre part, ta courbe est sans doute un peu approximative. As-tu vraiment besoin de valeur exacte ? Souvent une valeur approchée suffit. Dans ce cas, on utilise un tableau de valeurs et une interpolation linéaire.

Cordialement.

[Opabinia]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, il s'agit dune équation dérivant de la relation de Beer_Lambert (A = εlc) dans le cas où interviennent dans le milieu plusieurs équilibres chimiques. Ceci implique:

a) que l'équation ne présente qu'une seule solution présentant un sens physique, c'est à dire un nombre réel strictement positif mais ne dépassant pas une limite raisonnable, de l'ordre de 0.1 mol/L (correspondant à la concentration totale c_max en soluté); les autres solutions de l'équation sont généralement négatives, soit supérieures à la borne précédente (c_max);

b) et que pour peu que (x) représente la concentration de l'espèce prédominante, une résolution numérique rapide est envisageable sur une calculatrice programmable en mettant par exemple l'équation sous la forme

x = y/(ax² + bx + c) ;

l'essentiel étant d'obtenir une suite convergente de la forme x_n+1 = F(x_n); la limite obtenue est la solution cherchée avec toute la précision souhaitable.

Ce sujet aurait peut-être une place plus appropriée en Chimie.

[DAK34]

Bonjour et merci pour vos contribution,

Après expérimentation j'ai tracé une courbe d'étalonnage entre 20ppm et 10000ppm et j'obtiens sur excel le graphe suivant avec une équation polynomiale d'ordre 3:

CE-poly3-20-10000-.png

Le but est donc de déterminer la concentration dans des échantillons dont la valeur est inconnue.

J'ai trouvé une autre solution, plus simple qui consiste à décomposer la courbe d'étalonnage sur 2 intervalles :
1- la première consiste à tracer le graphe entre 20ppm et 1500ppm, de l'Abs en fonction de la concentration (j'obtiens une droite linéaire avec une équation de type y=ax+b, b=0 car passe par 0).
CE-lin-20-1500-.png

2- la seconde consiste à tracer un graphe entre 1500ppm et 10000ppm, cette fois ci de l'Abs au carré en fonction de la concentration, j'obtiens également une droite linéaire avec une équation y=ax+b avec b non nul.
CE-lin-1500-10000-.png

Bien cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

Bonjour,

Tu as fait un travail statistique intéressant; la dispersion relative des points en ordonnée par rapport à la droite moyenne est mesurée par la grandeur

s = (1 - r²)^1/2 = 5.5 % dans le cas du second graphe, 7.4 % dans celui du troisième.

Il ne faudra donc pas espérer, pour le résultat final, plus de 2 chiffres significatifs.

Ceci dit, il faut autant que possible rendre compte de la répartition de l'ensemble des points à l'aide dune formule unique; le premier quart du nuage se regroupant autour d'une droite passant par l'origine; on peut raisonnablement parier sur une relation de la forme:

y = a*x + b*x² ,

les coefficients (a, b) étant alors donnés par une régression linéaire portant sur le quotient

z = y/x = a + b*x .

On pourrait pousser plus loin la recherche de la courbe des moindres carrés en introduisant un terme supplémentaire:

y = a*x + b*x² + c*x³ ,

en mettant en œuvre une régression parabolique sur (z = y/x), dont le résultat serait plus difficile à exploiter, pour une précision illusoire: la dispersion des points produit une incertitude incompressible sur le résultat final.

Rien ne t'empêche bien sûr d'essayer, en regardant la valeur de la dispersion (s).

Les termes non linéaires apparaissant comme des termes correctifs, il y a de fortes chances pour que (x) apparaisse comme la limite de la suite définie par la relation de récurrence:

x_k+1 = y/(a + b*x_k + c*x_k²) ,

avec x₀ = y/a .