Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour les questions suivantes.
On a A un anneau et I, J et K des idéaux de A.
On veut montrer que J.K = Σ(x_i . y_i) avec x_i ∈ J et y_i ∈ K est un idéal de A
Et également que ann(I) = {x ∈ A | x.y = 0 pour tout y ∈ I}
Je sais que l'on montre que I est un idéal de A en vérifiant que :
- I est un sous-groupe de A
- ∀ a ∈ A, ∀ i ∈ I, a.i ∈ I
Mais je n'arrive pas à l'appliquer ici.
Pourriez-vous m'aider ?
Mercii
Bonjour.
je ne traite que la première question, ne sachant pas ce que tu appelles ann(I). Donc tu veux montrer que J.K est un idéal de A.
Tu as décrit la démarche, pourquoi ne la suis-tu pas ?
* Comment démontre-t-on que J.K est un sous-groupe de A ? Eh bien fais-le
* ∀ a ∈ A, ∀ i ∈ I, a.i ∈ I : donC montre que ça marche pour I=J.K : soit a dans a et i dans J.K, donc i = ... a.i = ...
Tu aurais gagné du temps (et de l'autonomie) en te mettant au travail sans attendre qu'on le fasse à ta place !!
Cordialement.
J'ai fait ceci
J.K sous groupe de A:
- stable par addition : ∀ Σ(j=1 à n)(x_j . y_j) et Σ(k=1 à m)(x_k . y_k) ∈ J.K alors Σ(j=1 à n)(x_j . y_j) + Σ(k=1 à m)(x_k . y_k) ∈ J.K
- contient l'élément neutre de A : 0 ∈ J.K
- stable par inverse : Σ(x_j . y_j) ∈ J.K alors Σ(x_j . y_j)^-1 ∈ J.K (je ne vois pas comment faire cette ligne)
∀ a ∈ A, ∀ Σ(j=1 à n)(x_j . y_j) ∈ J.K, a.Σ(j=1 à n)(x_j . y_j) ∈ J.K
Heu ... tu n'as rien justifié !! Tu t'es contenté de dire que c'est vrai, mais on n'a aucune raison de te croire.
Autre chose : Pour démontre que I est un sous-groupe de (A,+) (rappeler quelle opération est en cause est utile ! ça évite de parler d'inverse et de choisir l'inverse par la multiplication, qui n'est pas une loi de groupe (*) ), il suffit de justifier que I est non vide et que pour tout couple (a,b) de I, a-b est dans I. Ces deux choses sont ici faciles à prouver.
Tu as dû voir la théorie des groupes auparavant, tu ferais bien de réviser !!
(*) Dans un anneau, en général, il n'y a pas d'inverse pour la multiplication.
Dernière modification par gg0 ; 14/02/2024 à 21h28.
pour ce qui est de l'annulateur de I, c'est un idéal même quand I n'en est pas un.
J'ai fait ceci, est-ce correct ?
1/ Montrer que J.K est un idéal de A.
Montrons que J.K est un sous-groupe de A.
• 0 × 0 = 0 ∈ J.K
• ∀ Σi=(1;n) xi . yi, Σj=(1;m) x’j . y’j ∈ J.K, montrons que (Σi=(1;n) xi . yi) - (Σj=(1;m) x’j . y’j) ∈ J.K
On prend j allant de n + 1 à n + m, et x’j = -xj-n et y’j = yj-n.
On a alors (Σi=(1;n) xi . yi) - (Σj=(1;m) x’j . y’j) = (Σi=(1;n) xi . yi) - (Σj=(n+1;n+m) -xj-n . y’j-n) = (Σi=(1;n+m) xi . yi) ∈ J.K
Donc J.K est bien un sous-groupe de A.
Montrons aussi que ∀ a ∈ A et ∀ Σi=(1;n) xi . yi ∈ J.K, a × Σi=(1;n) xi . yi ∈ J.K.
a × Σi=(1;n) xi . yi = Σi=(1;n) axi . yi ∈ J.K car axi ∈ J et yi ∈ K
Donc J.K est un idéal de A.
2/ Montrer que ann(I) est un idéal de A.
Montrons que ann(I) = {x ∈ A | x.y = 0 pour tout y ∈ I}est un sous-groupe de A.
• 0 × y = 0 donc 0 ∈ ann(I)
• ∀ x, z ∈ ann(I), (x - z) × y = x × y - z × y = 0 – 0 = 0 donc x – z ∈ ann(I)
Donc ann(I) est bien un sous-groupe de A.
Montrons aussi que ∀ a ∈ A et ∀ x ∈ ann(I), a.x ∈ ann(I).
(a.x).y = 0 car x.y = 0 donc a.x ∈ ann(I).
Donc J.K est un idéal de A.
Les idées sont là, il manque une étape à l'avant dernière ligne : (a.x).y=a.(x.y) =a.0=0 car ...
Surtout, la rédaction du fait que la différence de deux éléments de J.K est dans J.K manque de rigueur, la lettre j a deux significations (dans xj et dans x'j) et la dernière égalité est parachutée. En particulier les - ont disparu par magie.
faire attention aussi au fait que l'énoncé ne dit pas que A est commutatif, donc il faudrait parler d'idéal à gauche ou à droite (ça ne change pas les démonstrations).
J'ai pensé que Romyfj faisait de l'algèbre commutative. L'énoncé de départ ne parle que d'idéaux.
Cordialement.
