Idéaux

**fartassette** · 29/09/2020, 18h56

Bonjour ,

J' ai répondu à toutes les questions sauf la dernière . Une idée?

Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif. Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux idéaux de $\text{[math]}$ , on note

$\text{[math]}$

On dit que deux idéaux $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont étrangers si $\text{[math]}$ .
1. Montrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont encore des idéaux de $\text{[math]}$ .
2. Montrer que $\text{[math]}$ .
3. Montrer que $\text{[math]}$ .
4. Montrer que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont étrangers, alors $\text{[math]}$

Merci,

**syborgg** · 29/09/2020, 19h12

Tout repose sur le fait que, si I+J=A, alors il existe a dans I et b dans J tels que a+b=1. Soit alors x dans I inter J. Alors....

**fartassette** · 29/09/2020, 19h56

merci! Je voyais un truc bien compliqué au vu de la précédente question alors $\text{[math]}$
Je savais que $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

**syborgg** · 29/09/2020, 20h34

Envoyé par fartassette

merci! Je voyais un truc bien compliqué au vu de la précédente question alors $\text{[math]}$
Je savais que $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

Oui tu peux aussi le dire comme cela (ce qui te fait utiliser la question 3 pour repondre a la 4), mais cela revient strictement au meme. L'important est de retenir la decomposition a+b=1 qui decoule de l'hypothese I+J=1 (c'est meme equivalent comme tu peux facilement le voir), car cela revient assez souvent dans les histoires d'ideaux dans differents contextes.

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