Idéaux

**fartassette** · 29/09/2020, 19h56

Bonjour ,

J' ai répondu à toutes les questions sauf la dernière . Une idée?

Soit $(A,+, \times)$ un anneau commutatif. Si $I$ et $J$ sont deux idéaux de $A$ , on note

$\begin{}<br /> I+J =\{i+j ; i \in I, j \in J\} \\<br /> I . J =\left\{i_{1} j_{1}+\cdots+i_{n} j_{n} ; n \geq 1, i_{k} \in I, j_{k} \in J\right\}<br />$

On dit que deux idéaux $I$ et $J$ sont étrangers si $I+J=A$ .
1. Montrer que $I+J$ et $I J$ sont encore des idéaux de $A$ .
2. Montrer que $I . J \subset I \cap J$ .
3. Montrer que $(I+J) \cdot(I \cap J) \subset I . J$ .
4. Montrer que si $I$ et $J$ sont étrangers, alors $I . J=I \cap J$

Merci,

**syborgg** · 29/09/2020, 20h12

Tout repose sur le fait que, si I+J=A, alors il existe a dans I et b dans J tels que a+b=1. Soit alors x dans I inter J. Alors....

**fartassette** · 29/09/2020, 20h56

merci! Je voyais un truc bien compliqué au vu de la précédente question alors $x\subset I . J$
Je savais que $\text {A. }(I \cap J) \subset I . J$

Donc $1_{A} x \in A .(I \cap J) \subset I . J$

**syborgg** · 29/09/2020, 21h34

Envoyé par fartassette

merci! Je voyais un truc bien compliqué au vu de la précédente question alors $x\subset I . J$
Je savais que $\text {A. }(I \cap J) \subset I . J$

Donc $1_{A} x \in A .(I \cap J) \subset I . J$

Oui tu peux aussi le dire comme cela (ce qui te fait utiliser la question 3 pour repondre a la 4), mais cela revient strictement au meme. L'important est de retenir la decomposition a+b=1 qui decoule de l'hypothese I+J=1 (c'est meme equivalent comme tu peux facilement le voir), car cela revient assez souvent dans les histoires d'ideaux dans differents contextes.

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